Trzy całki krzywoliniowe
Trzy całki krzywoliniowe
1. \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \sqrt{ x^{2}+y^{2}} \mbox{d}l}\)
gdzie K jest obrazem krzywej
\(\displaystyle{ \left(x-1 \right) ^{2}+y^{2} =1}\)
jak mam zparametryzować tą krzywą i w jakich granicach liczyć?
2. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{k}^{} \left( x^{3}-y^{2} \right) \mbox{d}x +x \mbox{d}y}\) gdzie K jest łukiem krzywej \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od punktu \(\displaystyle{ A \left( 1,1\right)}\) do punktu \(\displaystyle{ B \left( -1,-1\right)}\)
3. Obliczyć masę prostej K o równaniu \(\displaystyle{ y=2x+1, x \in [1,14]}\) jeżeli gęstość \(\displaystyle{ \rho}\) w każdym punkcie M jest odwrotnie proporcjonalna do pierwszej współrzędnej tego punktu i w punkcie \(\displaystyle{ P \left( 1,3\right)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \rho \left( P\right)=\rho \left( 1,3\right)=2}\)
Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc przy tych zadaniach, pozdrawiam.
gdzie K jest obrazem krzywej
\(\displaystyle{ \left(x-1 \right) ^{2}+y^{2} =1}\)
jak mam zparametryzować tą krzywą i w jakich granicach liczyć?
2. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{k}^{} \left( x^{3}-y^{2} \right) \mbox{d}x +x \mbox{d}y}\) gdzie K jest łukiem krzywej \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od punktu \(\displaystyle{ A \left( 1,1\right)}\) do punktu \(\displaystyle{ B \left( -1,-1\right)}\)
3. Obliczyć masę prostej K o równaniu \(\displaystyle{ y=2x+1, x \in [1,14]}\) jeżeli gęstość \(\displaystyle{ \rho}\) w każdym punkcie M jest odwrotnie proporcjonalna do pierwszej współrzędnej tego punktu i w punkcie \(\displaystyle{ P \left( 1,3\right)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \rho \left( P\right)=\rho \left( 1,3\right)=2}\)
Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc przy tych zadaniach, pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Trzy całki krzywoliniowe
ad 1. Przykładowa parametryzacja: \(\displaystyle{ (x(t), y(t)) = (1 + cos t, sin t) , ; t in [0, 2pi )}\).
ad 2. Sprowadź całkę do całki oznaczonej "pozbywając" się jednej zmiennej - x albo y.
ad 3. Skorzystaj z całki krzywoliniowej niezorientowanej - funkcją podcałkową będzie gęstość.
ad 2. Sprowadź całkę do całki oznaczonej "pozbywając" się jednej zmiennej - x albo y.
ad 3. Skorzystaj z całki krzywoliniowej niezorientowanej - funkcją podcałkową będzie gęstość.
Trzy całki krzywoliniowe
w 3 zadaniu jak będzie wyglądał wzór na gęstość?
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) ?
Trzy całki krzywoliniowe
w tym pierwszym zadaniu po podstawieniach wychodzi mi całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2cost +2} \mbox{d}t}\) jak to ugryźć?
- szczepanik89
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
- szczepanik89
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
Trzy całki krzywoliniowe
a ja bym powiedzial ze inaczej da sie to sparametryzowac
jako ze promien jest staly i sie nie zmienia to w naszym przypadku bedzie r=1
wprowadzmy teraz wspolrzedne biegunowe
\(\displaystyle{ x=rcost=cost}\)
\(\displaystyle{ y=rsint=sint}\)
\(\displaystyle{ J=r=1}\)
\(\displaystyle{ t \in [0,2\pi]}\)
wtedny nasza calka przyjmie postac:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sqrt{cos^{2}t +sin^{2}t}\sqrt{(-sint)^{2}+cos^{2}t}dt=\int_{0}^{2\pi}dt=[t]^{2\pi}_{0}=2\pi}\)
jesli to nie jest prawdziwe albo wplyw na ten wzor ma srodek okregu to niech ktos mi to wykaze
jako ze promien jest staly i sie nie zmienia to w naszym przypadku bedzie r=1
wprowadzmy teraz wspolrzedne biegunowe
\(\displaystyle{ x=rcost=cost}\)
\(\displaystyle{ y=rsint=sint}\)
\(\displaystyle{ J=r=1}\)
\(\displaystyle{ t \in [0,2\pi]}\)
wtedny nasza calka przyjmie postac:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sqrt{cos^{2}t +sin^{2}t}\sqrt{(-sint)^{2}+cos^{2}t}dt=\int_{0}^{2\pi}dt=[t]^{2\pi}_{0}=2\pi}\)
jesli to nie jest prawdziwe albo wplyw na ten wzor ma srodek okregu to niech ktos mi to wykaze
- szczepanik89
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
Trzy całki krzywoliniowe
udowodnij mi to, bo nas tak uczyli parametryzowac okregi o srodku w (O.0) i promienu r