podzielność przez 9

[woljako]

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n, liczba \(\displaystyle{ 10^n - 1}\) jest podzielna przez 9.

próbowałem w jakiś sposób ale chyba zły dowód zrobiłem \(\displaystyle{ 10^n-1(10-1)}\)

[diana7]

Sposób 1: Skorzystaj z podstawowych własności kongruencji.

Sposób 2: Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ (10-1)(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1)= \\
=(10^n+10^{n-1}+...+10)-(10^{n-1}+10^{n-2}+...+1)=10^n-1}\)

[szw1710]

Czyż nie jest tak, że \(\displaystyle{ 10^n-1=9999\dots 9\,?}\)

[Ania221]

Sposób trzeci :

\(\displaystyle{ 10^n-1=(9+1)^n-1=(9^n+9^{n-1}+9^{n-2}+....+1)-1=9k}\)

[woljako]

szw1710
jest tak ale trzeba to udowodnić

[szw1710]

Myślisz, że o tym nie wiem??? Matematyka nie zaczyna się na dowodach, ale na ideach. I taką chciałbym przekazać. Dać zrozumieć, że można sprawę łatwo objąć wzrokiem. Mając intuicję, możesz przejść do dowodzenia. A dowód można sobie szybko przeprowadzić. Wiesz, czego nie uczy się ojca?

[Panda]

Tak tak, bezsprzecznie chciał Panu zarzucić niekompetencję, doświadczonemu dydaktykowi, na pal z nim

Można spostrzeżenie @szw1710 uzasadnić odnosząc się do odejmowania sposobem pisemnym, albo, jeśli możesz skorzystać bez dowodu z cechy podzielności przez \(\displaystyle{ 9}\) (można ją udowodnić, nie jest trudno), zauważyć, że \(\displaystyle{ 10^{n}+8}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\), a \(\displaystyle{ 10^{n}+8-10^{n} = 8}\), a \(\displaystyle{ 9 \nmid 8}\).

[szw1710]

I po co ten sarkazm?

[Panda]

Bo zwrócenie uwagi bez sarkazmu brzmi zbyt poważnie a nie chciałem robić jakiejś wielkiej sprawy. Po prostu nie wierzę, że @woljako próbował zarzucić niekompetencję i Pana reakcja była wysoce niesprawiedliwa. Ktoś powinien stanąć w jego obronie, żeby nie poczuł się zaszczuty i to właśnie robię.

[szw1710]

OK. Nie było moim celem zaszczuwanie chłopaka. Ale zwracanie uwagi, że coś trzeba udowodnić, jakbym tego nie wiedział... Stąd uwaga, jakich nauk nie udziela się ojcu. A przy okazji to fajne powiedzenie. Powstrzymaj się od oceniania.

[Scepter]

Ania221, tam miał być dwumian Newtona chyba

Można też tak jak się to robi w Białej Podlaskiej:
jeżeli \(\displaystyle{ 9 | 10^{n-1} - 1}\), to \(\displaystyle{ 10^n-1 = 10\cdot 10^{n-1}-1 = 9\cdot 10^{n-1} + 10^{n-1}-1}\), a to jest oczywiście podzielne przez 9

[Ania221]

Tak, zabrakło mi literek w środku. Ale i tak wszystkie liczby w środku nawiasu, oprócz ostatniej jedynki, są iloczynami z dziewiątką, a ta jedynka właśnie się odejmuje.