Pytanie odnośnie definicji całki

[zbyszek96]

Cześć
Mam dosyć nietypowe pytanie, ale odpowiedzi nie znalazłem niestety w książkach. Mam pytanie odnośnie postaci \(\displaystyle{ \int f(x) dx}\). Po co tu te dx, w takim sensie, że skąd tam różniczka, z czego wynika. Ja to widzę następująco, jest jakaś operacja na funkcji f(x) dająca funkcję pierwotną i zapisuję to
\(\displaystyle{ Op(f(x))=F(x)+C}\), ale wiem też, że \(\displaystyle{ F'(x)=\frac{dy}{dx}=f(x)}\) więc
\(\displaystyle{ Op(\frac{dy}{dx})=F(x)+C}\). No i co dalej, bo jak sądzę ta różniczka po coś tam jest, w końcu manipuluje się nią często po to aby dopasować zmienne, i ogółem te dx nie stoi tam przypadkowo.
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam.

[AdamL]

d oznacza przyrost (bardzo mały ->0) jakiejś zmiennej/funkcji np. dx. W szkole miałeś deltę x , w całce masz dx.

zapis \(\displaystyle{ \frac {df(x)}{dx}}\) oznacza nie mniej nie więcej jak szybko zmieniają się wartości funkcji w stosunku do zmiany argumentu (nieskonczenie małej dx).

Jak się zaczniesz bawic w całki oznaczone to zobaczysz głębszy sens tego dx - w sensie interpretacji geometrycznej i wypełniania obszaru prostokątami

[zbyszek96]

Ehh, mi chodzi o to dlaczego całkowanie ma postać \(\displaystyle{ \int f(x) dx}\), a nie na przykład
\(\displaystyle{ \int \sum \pm \sqrt{x} \frac{y}{x}}\). Już wiesz co mam na myśli? Chodzi mi o to, że ta wygięta kreseczka z przodu to jest zdefiniowany znak całki, ale dlaczego dalej jest \(\displaystyle{ dx}\) ?? Jak to się komponuje ze znaczkiem całki oraz z czego to wynika. Na pewno ktoś to kiedyś definiował i chciałbym wiedzieć po co to jest i dlaczego, żeby nie robić zadań algorytmem, bo tak jest i tyle, tylko wiedzieć z czego to wynika.

[AdamL]

Moze inaczej: jak rozumiesz zapis \(\displaystyle{ f(x) \mbox{d}x}\)?

[zbyszek96]

Rozumiem to jako iloczyn funkcji i różniczki argumentów funkcji.-- 27 gru 2013, o 14:53 --Rozumiem to jako iloczyn funkcji i różniczki argumentów funkcji.

[huteusz]

Nie jestem specjalistą, w tych tematach, więc nie traktujcie mojego postu jako wiążącego. \(\displaystyle{ dx}\) oznacza moim skromnym zdaniem tylko tyle że całkujemy po x-ie. Takie oznaczenie a nie iloczyn!

Jak masz funkcję pod całką, np \(\displaystyle{ 2a+3b+5x}\), mogło by być niejasne, co traktujemy, jako zmienną po której całkujemy - a, b, czy x.

[yorgin]

Cześć
Mam dosyć nietypowe pytanie, ale odpowiedzi nie znalazłem niestety w książkach. Mam pytanie odnośnie postaci \(\displaystyle{ \int f(x) dx}\). Po co tu te dx, w takim sensie, że skąd tam różniczka, z czego wynika.

Na niskim poziomie ten symbol to po prostu oznaczenie na pierwotną. Jeżeli mamy dane \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ F\in \int f \dd x}\) gdy \(\displaystyle{ F'=f}\).

Na średnim poziomie, gdy wchodzimy w różniczki, chodzi o znalezienie pierwotnej pewnej formy (różniczki zupełnej) \(\displaystyle{ f(x)dx}\). Jeżeli \(\displaystyle{ U'=f}\) to widać, że różniczki są postaci \(\displaystyle{ \dd U(x)=U'(x)\dd x=f(x)\dd x}\). Dodanie symbolu \(\displaystyle{ \int}\) to jakby próba znalezienia potencjału \(\displaystyle{ U}\), czyli dokonanie operacji odwrotnej do \(\displaystyle{ \dd}\).

Na wyższym poziomie jest to ściśle zdefiniowany symbol, który można tłumaczyć jako całkowanie formy różniczkowej. Jest to na tyle skomplikowane, że bez wykładu, którego pod ręką nie mam, nie podejmuję się próby jakiejkolwiek interpretacji.

Tyle z mojej strony, nie jestem również specjalistą w dziedzinie interpretacji fizycznych, więc nie za wiele od tej strony mogę napisać.