Problem z obliczeniem całki liczbami zespolonymi

[Tomek_Fizyk-10]

Witam! Czy mógłby ktoś wskazać mi błąd, bo ja nie mam pojęcia gdzie go popełniłem.
Mam do obliczenia całkę \(\displaystyle{ I = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x^2 + 1}}\)
Chcę to zrobić za pomocą liczb zespolonych, a wiec tak:
\(\displaystyle{ x^2 + 1 = \left( x + i\right) \left( x - i \right)}\)
ponad to \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( x + i\right) \left( x - i \right) } = \frac{A}{x + i} + \frac{B}{x - i}}\)
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{2} i}\)
\(\displaystyle{ B = - \frac{1}{2} i}\)
Całka sprowadza się do
\(\displaystyle{ I = \frac{1}{2} i \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x + i} - \frac{1}{2} i \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x - i} = \frac{1}{2} i \cdot \ln \left( \frac{x + i}{x - i} \right)}\)
Teraz takie przekształcenie:
\(\displaystyle{ e ^{- 2 i \cdot I } = \frac{x + i}{x - i} = \frac{x ^{2} + 2i x - 1 }{x ^{2} + 1 } = \frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } - i \frac{2x}{x ^{2} + 1 }}\)
Przypominam teraz równanie Eulera:
\(\displaystyle{ e ^{iy} = \cos (y) + i \sin (y)}\)
\(\displaystyle{ y = - 2 I}\)
Podstawiam to do wcześniejszego równania:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } - i \frac{2x}{x ^{2} + 1 } = \cos \left( - 2 I \right) + i \sin \left( - 2 I \right)}\)
Z tego powstaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } = \cos \left( - 2 I \right) \\ \frac{- 2x}{x ^{2} + 1 } = \sin \left( - 2 I \right) \end{cases}}\)
Dziele drugie równanie przez pierwsze i otrzymuje
\(\displaystyle{ \tan \left( - 2 I \right) = \frac{- 2x}{x ^{2} - 1 }}\)
czyli
\(\displaystyle{ I = - \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{- 2x}{x ^{2} - 1 } \right)}\)
Co jest niestety błędne. Powinno wyjść \(\displaystyle{ I = \arctan (x)}\)
Stałą całkowania pominąłem, bo i tak nie poprawia błędnego wyniku.

[yorgin]

[quote="Tomek_Fizyk-10"
Teraz takie przekształcenie:
\(\displaystyle{ e ^{- 2 i cdot I } = frac{x + i}{x - i} = frac{x ^{2} + 2i x - 1 }{x ^{2} + 1 } = frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } - i frac{2x}{x ^{2} + 1 }}\)
[/quote]
Część urojoną źle zanotowałeś.

W poprawionej wersji dostaniesz

\(\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{- 2x}{x ^{2} - 1 } \right)}\)

i teraz zamiast przejmować się wynikiem należy się zastanowić, co w ogóle się dostało.

Przede wszystkim widać, że funkcja jest nieokreślona w \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) oraz że nie jest w tych punktach przedłużalna do funkcji ciągłej na całym \(\displaystyle{ \RR}\) (sprawdź licząc granice jednostronne).

Dalej - policz pochodną wyniku. Czeka Cię niespodzianka.

Był kiedyś temat o podobnym problemie, ale nie mogę go w tym momencie znaleźć.

[Tomek_Fizyk-10]

Faktycznie funkcja jest praktycznie taka sama tylko rozerwana w \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\). Nie wiem jednak, gdzie w obliczeniach ją tak rozerwałem...

[yorgin]

Tutaj

Z tego powstaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } = \cos \left( - 2 I \right) \\ \frac{- 2x}{x ^{2} + 1 } = \sin \left( - 2 I \right) \end{cases}}\)
Dziele drugie równanie przez pierwsze i otrzymuje
\(\displaystyle{ \tan \left( - 2 I \right) = \frac{- 2x}{x ^{2} - 1 }}\)

zakładasz po cichu, że \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} - 1 }{x ^{2} + 1 } = \cos \left( - 2 I \right)\neq 0}\), czyli dokładnie \(\displaystyle{ x\neq 1}\) oraz \(\displaystyle{ x\neq -1}\).

By rozerwanie zniknęło, na każdym z przedziałów określoności Twojego wyniku należałoby dodać jakąś stałą tak, by zrównać ze sobą granice jednostronne w punktach usuniętych z dziedziny i wtedy można rozszerzyć funkcję w tychże punktach. Na koniec należałoby sprawdzić, że to rozszerzenie ma odpowiednią pochodną w punktach rozszerzenia (innymi słowy - pochodna na całym \(\displaystyle{ \R}\) jest taka, jakiej się spodziewamy).

[Tomek_Fizyk-10]

Ok, czyli wzór postaci \(\displaystyle{ I = - \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2x}{x ^{2} - 1 } \right)}\)
nie stosuje się dla \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\).
A czemu nie pasuje też dla \(\displaystyle{ x<-1}\) oraz \(\displaystyle{ x>1}\)? (jest tam tylko drobne przesunięcie gałęzi funkcji \(\displaystyle{ I = \arctan \left( x \right)}\))

[yorgin]

A czemu nie pasuje też dla \(\displaystyle{ x<-1}\) oraz \(\displaystyle{ x>1}\)? (jest tam tylko drobne przesunięcie gałęzi funkcji \(\displaystyle{ I = \arctan \left( x \right)}\))

Nie pasuje do czego? Pochodne na tych przedziałach (oraz na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1))}\) są zgodne z oczekiwanymi.