Cześć.
Dopadło mnie zaćmienie - czy może być tak, by \(\displaystyle{ \{A\} \in A}\) w \(\displaystyle{ ZF}\)?
Z początku wydawało mi się, że odpowiedź negatywną od razu daje aksjomat regularności - ale nie, to było błędne skojarzenie (chyba).
Singleton zbioru w tymże zbiorze
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Singleton zbioru w tymże zbiorze
To nie jest możliwe, ale nie mam na podorędziu łatwiejszego argumentu niż powołanie się na następujące twierdzenie:
Jeżeli \(\displaystyle{ x\in y}\), to \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \mbox{rank}\, y}\),
przy czym \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x}\) oznacza rząd zbioru \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ (V_\alpha)_{\alpha\, {\rm liczba\; porządkowa}}}\), tj.
\(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x = \min\{\alpha \colon x\in V_{\alpha+1}\}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ V_\alpha = \{x\colon \mbox{rank}\,x <\alpha\}}\). Rzeczywiście,
\(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \alpha \iff (\exists \beta <\alpha) (x\in V_{\beta +1}) \iff x\in V_\alpha.}\)
Załóżmy więc teraz, że \(\displaystyle{ x\in y}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha = \mbox{rank}\, y}\). Wówczas \(\displaystyle{ y\in \wp(V_\alpha)}\) czyli \(\displaystyle{ x\in V_\alpha}\). Ostatecznie, \(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x <\alpha}\). \(\displaystyle{ \square}\)
Twoja intuicja z aksjomatem regularności była dobra. Używamy go tutaj istotnie wiedzieć, że
\(\displaystyle{ V=\bigcup_\alpha V_\alpha}\)
jest klasą wszystkich zbiorów.
Jeżeli \(\displaystyle{ x\in y}\), to \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \mbox{rank}\, y}\),
przy czym \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x}\) oznacza rząd zbioru \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ (V_\alpha)_{\alpha\, {\rm liczba\; porządkowa}}}\), tj.
\(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x = \min\{\alpha \colon x\in V_{\alpha+1}\}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ V_\alpha = \{x\colon \mbox{rank}\,x <\alpha\}}\). Rzeczywiście,
\(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \alpha \iff (\exists \beta <\alpha) (x\in V_{\beta +1}) \iff x\in V_\alpha.}\)
Załóżmy więc teraz, że \(\displaystyle{ x\in y}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha = \mbox{rank}\, y}\). Wówczas \(\displaystyle{ y\in \wp(V_\alpha)}\) czyli \(\displaystyle{ x\in V_\alpha}\). Ostatecznie, \(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x <\alpha}\). \(\displaystyle{ \square}\)
Twoja intuicja z aksjomatem regularności była dobra. Używamy go tutaj istotnie wiedzieć, że
\(\displaystyle{ V=\bigcup_\alpha V_\alpha}\)
jest klasą wszystkich zbiorów.
-
- Administrator
- Posty: 34462
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Singleton zbioru w tymże zbiorze
Daje od razu, bo gdyby \(\displaystyle{ \{A\}\in A}\), to mamy "pętelkę" \(\displaystyle{ \{A\}\in A\in \{A\}}\), które są w prosty sposób wykluczane przez aksjomat regularności (tu zastosowany do zbioru \(\displaystyle{ \{A,\{A\}\}}\)).patry93 pisze:Z początku wydawało mi się, że odpowiedź negatywną od razu daje aksjomat regularności - ale nie, to było błędne skojarzenie (chyba).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Singleton zbioru w tymże zbiorze
Hah, fajnie jest popatrzeć na dwa różne podejścia (chyba, że znów mnie ktoś zadziwi i pokaże, że są one tak naprawdę zakamuflowanym jednym ).
Dziękuję!
Dziękuję!
-
- Administrator
- Posty: 34462
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Singleton zbioru w tymże zbiorze
W pewnym sensie tak jest. Aksjomat regularności umożliwia nam zdefiniowanie rangi zbioru, więc ten dowód tak czy inaczej sprowadza się do aksjomatu regularności.patry93 pisze:(chyba, że znów mnie ktoś zadziwi i pokaże, że są one tak naprawdę zakamuflowanym jednym ).
JK