Równanie opisujące powierzchnię trójkąta.

[yoana91]

Czy istnieje sposób na opisanie równaniem powierzchni trójkąta mając podane współrzędne jego wierzchołków np.

A(0,0,0)
B(0,10,0)
C(10,10,0)

Zależy mi na tym, by w jakiś sposób opisać wnętrze tego trójkąta. Żeby podając współrzędne jakiegokolwiek punktu móc ocenić, czy należy on do tego trójkąta, czy też leży poza nim. Jest mi to potrzebne do zadania programistycznego. Byłabym wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.

[rtuszyns]

Można wyznaczyć dokładnie obszar trójkąta wyznaczając współczynniki prostych, które przecinają się w punktach \(\displaystyle{ A,B,C}\) (wierzchołki trójkąta) oraz rozwiązując odpowiednie nierówności.

Tu masz coś na ten temat:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node105.html

lub tu:

[yoana91]

Powiem szczerze, że o ile rozwiązanie problemu 2D jest całkiem sensowne, to przełożenie tego rozwiązania na 3D takie oczywiste już nie jest. Dodatkowo będzie to niesamowicie kosztowne zadanie dla procesora, jeśli przyjdzie mu liczyć takie cudo dla pierwszego lepszego modelu 3d. No nic, czas odświeżyć sobie zajęcia z matematyki z pierwszego roku.

Jeśli dla kogoś adaptacja rozwiązania dla 3D jest bardziej oczywista niż dla mnie, bardzo proszę o porady.

[norwimaj]

Pomyśl o iloczynach wektorowych: \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AX}, \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BX}, \overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CX}.}\)

[a4karo]

Tu akurat to nie jest trudne: trójkąt leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ z=0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f_{AB}(x,y,z)=\max (-y,0)}\) jest nieujemna i równa zero w półprzestrzeni \(\displaystyle{ y\ge 0}\). Podobnie funkcja \(\displaystyle{ f_{BC}=\max (x-10, 0)}\) zeruje się na półprzestrzeni \(\displaystyle{ x\leq 10}\). Analogicznie skonstruujesz nieujemną funkcję, która zeruje się na półprzestrzeni \(\displaystyle{ y-x\ge 0}\). Suma tych trzech funkcji jest nieujemna i zeruje się w nieograniczonym graniastosłupie, którego podstawą jest zadany trójkąt.
Punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) leży w trójkącie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f_{AB}(x,y,z)+f_{BC}(x,y,z)+f_{AC}(x,y,z)+|z|=0}\)

[yoana91]

Odnośnie iloczynów wektorowych, możliwe byłoby chyba wyliczenie pole trójkąta wyjściowego ABC, później pola trójkątów złożonych z 2 wierzchołków + ten sprawdzany, czyli: ABX, BCX, ACX. Wtedy jeśli suma tych trzech pół jest równa polu trójkąta ABC, punkt X znajduje się w środku. Co sądzicie o takim rozwiązaniu? Może nie jest super profesjonalne, ale wydaje mi się, że troszkę mniej "pamięciożerne", a na tym bardzo mi zależy.

[norwimaj]

Ja myślałem o badaniu, czy te iloczyny mają wspólny kierunek i zwrot, ale Twój pomysł z badaniem sumy pól trójkątów wydaje mi się nie gorszy. Pamięcią chyba nie musisz się bardzo przejmować, bo cokolwiek sensownego napiszesz, będzie działało w pamięci stałej.