Różnowartościowość wywnioskowana z nierówności.

[miszczuskc]

Witam,
\(\displaystyle{ \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{C}}\) - gładka, \(\displaystyle{ p,q,t_{0} \in [a,b]}\)
Potrafię pokazać, że zachodzi \(\displaystyle{ \left|\gamma(p)-\gamma(q) \right| \ge \left| p-q\right|(\left| \gamma'(t_{0})\right|-\sup_{ t \in [p,q] } \left|\gamma'(t)-\gamma'(t_{0})\right|)}\). Mam jednak problem z wywnioskowaniem stąd, że jeśli \(\displaystyle{ \forall_{t \in [a,b]}\gamma'(t) \neq 0}\), to dla pewnego \(\displaystyle{ \delta > 0}\) funkcja \(\displaystyle{ \gamma}\) jest różnowartościowa na każdym przedziale \(\displaystyle{ [t_{1},t_{2}] \subseteq [a,b]}\) takim, że \(\displaystyle{ t_{2}-t_{1}<\delta}\). Proszę o wskazówkę. To pewnie bardzo proste, ale teraz tego nie widzę. Podejrzewam, że trzeba skorzystać z jednostajnej ciągłości lub coś w ten deseń, ale nie wiem jak.

Pozdrawiam.

[Adifek]

Dla każdego \(\displaystyle{ t\in (a,b)}\) pochodna się nie zeruje i jest ciągła. Stąd ma stały znak: jest albo dodatnia albo ujemna. Zatem funkcja rośnie lub maleje w ścisłym sensie. Jest więc równowartościowa na \(\displaystyle{ (a,b)}\).

[Dasio11]

@Adifek: przypuszczalnie przeoczyłeś, że funkcja \(\displaystyle{ \gamma}\) jest gładką krzywą na płaszczyźnie zespolonej.

[Adifek]

W istocie, \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mi jakoś umknęło.