Uogólniona linia srubowa
- Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
Uogólniona linia srubowa
Witam. Mam takie zadanie:
Dla jakich a,b
\(\displaystyle{ \gamma(t)=(at,bt^2,t^3)}\)
jest uogólnioną linią śrubowa?
Krzywa jest ULŚ jeśli iloraz skręcenia i krzywizny jest stały, więc liczę:
krzywizna
\(\displaystyle{ \kappa=\parallel \gamma^{''}(t)\parallel}\)
Po przeliczeniach mam:
\(\displaystyle{ \kappa= \sqrt{4b^2+36t^2}}\)
obliczyłam skręcenie \(\displaystyle{ \tau}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \tau= \frac{(\gamma ^{'}\times \gamma^{''})\circ\gamma^{'''}}{\parallel \gamma ^{'}\times \gamma^{''}\parallel ^2}}\) i otrzymałam
\(\displaystyle{ \tau= \frac{3ab}{9b^2t^4+9a^2 t^2+a^2b^2}}\)
Co dalej mam z tym zrobić?
Dla jakich a,b
\(\displaystyle{ \gamma(t)=(at,bt^2,t^3)}\)
jest uogólnioną linią śrubowa?
Krzywa jest ULŚ jeśli iloraz skręcenia i krzywizny jest stały, więc liczę:
krzywizna
\(\displaystyle{ \kappa=\parallel \gamma^{''}(t)\parallel}\)
Po przeliczeniach mam:
\(\displaystyle{ \kappa= \sqrt{4b^2+36t^2}}\)
obliczyłam skręcenie \(\displaystyle{ \tau}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \tau= \frac{(\gamma ^{'}\times \gamma^{''})\circ\gamma^{'''}}{\parallel \gamma ^{'}\times \gamma^{''}\parallel ^2}}\) i otrzymałam
\(\displaystyle{ \tau= \frac{3ab}{9b^2t^4+9a^2 t^2+a^2b^2}}\)
Co dalej mam z tym zrobić?
- Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
Uogólniona linia srubowa
Nie, ponieważ
\(\displaystyle{ \parallel \gamma^{'}(t)\parallel= \sqrt{a^2+4b^2t^2+9t^4}}\)
nie dla każdego t jest równe 1?
Więc muszę najpierw sparametryzować krzywą \(\displaystyle{ \gamma}\) łukowo?
\(\displaystyle{ \parallel \gamma^{'}(t)\parallel= \sqrt{a^2+4b^2t^2+9t^4}}\)
nie dla każdego t jest równe 1?
Więc muszę najpierw sparametryzować krzywą \(\displaystyle{ \gamma}\) łukowo?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Uogólniona linia srubowa
Nie jestem pewien, które wzory są nazywane wzorami Freneta, ale na pewno możesz skorzystać z takich wzorów:
\(\displaystyle{ \kappa(t)=\frac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3},}\)
\(\displaystyle{ \tau(t)=\frac{\det(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}.}\)
\(\displaystyle{ \kappa(t)=\frac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3},}\)
\(\displaystyle{ \tau(t)=\frac{\det(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}.}\)
- Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
Uogólniona linia srubowa
No to wychodzi jeszcze gorzej niż wcześniej:
\(\displaystyle{ \kappa= \frac{\sqrt{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}}\)
\(\displaystyle{ \tau= \frac{12ab}{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}\)
Jak to ruszyć? Bo niezależnie do którego wzoru nie podstawię, i tak nie wiem jak wyznaczyć a i b, żeby to była linia śrubowa.
\(\displaystyle{ \kappa= \frac{\sqrt{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}}\)
\(\displaystyle{ \tau= \frac{12ab}{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}\)
Jak to ruszyć? Bo niezależnie do którego wzoru nie podstawię, i tak nie wiem jak wyznaczyć a i b, żeby to była linia śrubowa.
Ostatnio zmieniony 19 gru 2013, o 20:50 przez Natasha, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Uogólniona linia srubowa
Gdy \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\), to dostajemy krzywą płaską i iloraz skręcenia i krzywizny jest stale równy \(\displaystyle{ 0}\).
W przeciwnym wypadku, gdyby iloraz \(\displaystyle{ \frac{\tau(t)}{\kappa(t)}}\) był stały, to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}\frac{\tau(t)}{\kappa(t)}=\frac{\tau(0)}{\kappa(0)}}\).
W przeciwnym wypadku, gdyby iloraz \(\displaystyle{ \frac{\tau(t)}{\kappa(t)}}\) był stały, to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}\frac{\tau(t)}{\kappa(t)}=\frac{\tau(0)}{\kappa(0)}}\).
- Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
Uogólniona linia srubowa
W rozwiązaniu jest wskazówka, że \(\displaystyle{ \frac{\tau}{\kappa}=const \Leftrightarrow 4b^2=9a^2.}\)
Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\). Tylko jak otrzymać \(\displaystyle{ 4b^2=9a^2}\)...
Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\). Tylko jak otrzymać \(\displaystyle{ 4b^2=9a^2}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Uogólniona linia srubowa
Hm, czy w liczniku nie brakuje pierwiastka?Natasha pisze: \(\displaystyle{ \kappa= \frac{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}}\)
Tego nie rozumiem. Stałość w tym wypadku polega na tym, że wstawiając różne \(\displaystyle{ t}\) otrzymujesz ten sam wynik.Natasha pisze: Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\).
Ostatnio zmieniony 19 gru 2013, o 22:05 przez norwimaj, łącznie zmieniany 1 raz.