Całka z funkcji wymiernej

[zwierze]

Witam. Mam do policzenia taką całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ x^{6} +1 } dx}\)
Próbowałem rozbić to na całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\left( x^{2}+1 \right) \left( x^{4}- x^{2}+1 \right)}}\)
ale to niewiele pomaga ;/ dalej nie potrafię tego policzyć. Próbowałem naprawdę chyba wszystkiego więc prosił bym o dosyć rozbudowane wskazówki ;/

[denatlu]

Skoro na w liczniku masz czyste \(\displaystyle{ dx}\) to mianownik sprowadzasz do kanonicznej.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ x^{6} +1 } dx= \int{ \frac{dx}{ (x^{3})^2 +1^2 } }}\)

a na to jest elementarny wzór \(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a} arc \tg \frac{x}{a}+C}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a^{2m}+x^{2m}= \prod_{k=0}^{m-1}{\left( a^2-2a\cos{\left( \frac{\left( 2k+1\right)\pi }{2m} \right) }x+x^2\right) }}\)

[Qń]

Wskazówka: \(\displaystyle{ x^4-x^2+1 = x^4+2x^2+1 -3x^2= (x^2+1)^2- (x\sqrt{3})^2= \ldots}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ x^{6} +1 } dx= \int{ \frac{dx}{ (x^{3})^2 +1^2 } }}\)
a na to jest elementarny wzór \(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a} \arc \tg \frac{x}{a}+C}\)

Przemyśl to raz jeszcze.

Q.

[denatlu]

Patrze i pasuje do tego wzoru idealnie. Także o co chodzi?

[Mariusz M]

denatlu, może o to że ten wzorek stosujesz dopiero
po rozkładzie na sumę ułamków prostych i sprowadzeniu
trójmianów kwadratowych do postaci kanonicznej

[Qń]

Patrze i pasuje do tego wzoru idealnie. Także o co chodzi?

Jeśli podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^3}\), to \(\displaystyle{ dt= 3x^2dx}\).

Inaczej mówiąc: ze wzoru \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac 1a \arctg \frac xa+C}\) nie wynika w żaden sposób wzór \(\displaystyle{ \int \frac{1}{f(x)^2+a^2}dx = \frac 1a \arctg \frac {f(x)}{a}+C}\) dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Q.