Udowodnić równość korzystając z definicji granicy ciągu

[marek252]

Witam.
Mam takie zadanie. Korzystając z definicji granicy ciągu liczbowego pokazać równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5x+2}{2-7n}=- \frac{5}{7}}\). Począwszy od którego miejsca ze względu na wskaźnik \(\displaystyle{ n}\) wyrazy \(\displaystyle{ a _{n}}\) różnią się od swojej granicznej wartości o mniej niż \(\displaystyle{ 0,01}\)?
Wiem jak obliczyć tę granicę po prostu przekształcając to wyrażenie (wystarczy wyłączyć przed nawias n). Nie wiem natomiast w jaki sposób udowodnić to z definicji. Definicję znam. Czy mógłby mi to ktoś rozpisać i powiedzieć jakiś "schemat" jak robimy takie zadanie gdy mamy udowodnić z definicji?
Czy drugą część zadania można zrobić tak? \(\displaystyle{ \left|\frac{5n+2}{2-7n}- \left( -\frac{5}{7} \right) \right|<0,01}\) i z tego policzyć n?
Pozdrawiam

[szw1710]

Skoro twierdzisz, że znasz definicję, wyjaśnij, czemu bierzesz \(\displaystyle{ 0.01}\)?

[marek252]

No bo odległość między ciągiem a granicą ma być mniejsza od \(\displaystyle{ 0,01}\).

[szw1710]

Dobrze. Przyjmijmy \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{1000}\cdot(-1)^n}\). Czy granicą tego ciągu jest zero? Każdy wyraz tego ciągu różni się od zera mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{1}{100}}\). To samo dla \(\displaystyle{ \frac{1}{500}}\). Każdy wyraz tego ciągu różni się od \(\displaystyle{ \frac{1}{500}}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{1}{100}}\). Czyżby ten ciąg miał dwie granice? Najwyraźniej na to wygląda. Idąc dalej, ten ciąg miałby nieskończenie wiele granic.

Zapoznaj się dobrze z definicją granicy ciągu.

[Dasio11]

szw1710, przecież marek252 nie napisał, że \(\displaystyle{ 0,01}\) ma związek z definicją granicy. Drugą częścią zadania, które dostał do zrobienia, jest wyznaczenie takiego \(\displaystyle{ N_0,}\) że dla \(\displaystyle{ n \ge N_0}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \left| \frac{5n+2}{2-7n}- \left( -\frac{5}{7} \right) \right|<0,01}\)

[szw1710]

Dasio11, masz rację. Dziękuję za utemperowanie

marek252, w takiej sytuacji po prostu rozwiąż nierówność i już. A kwestię dowodu istnienia granicy z definicji przedyskutujemy później.

[marek252]

Rozwiązaniem są wyrazy ciągu większe bądź równe \(\displaystyle{ 50}\).
Jeśli chodzi o dowód z definicji, dalej proszę o rozpisanie mi tego, po kolei. W razie niejasności ewentualnie później o coś zapytam.

[szw1710]

Zamiast tej jednej setnej bierzesz dowolne, acz ustalone, \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i rozwiązujesz podobną nierówność. Np. jeśli \(\displaystyle{ n>\frac{1}{\varepsilon}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\varepsilon}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\to 0}\). Podobnie rozpisz Twój przykład.

Dobrej nocy.