Objetość części wspólnej

[matfka]

oblicz objętość części wspólnej dwóch kul o promieniu \(\displaystyle{ a}\), których środki są oddalone od siebie o \(\displaystyle{ 2(a-h)}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<h<a}\)

Jakaś wskazówka?

[Chromosom]

Można zastosować całkę potrójną lub pojedynczą, sumując nieskończenie małe objętości nieskończenie cienkich walców.

[matfka]

Akurat mam to zadanie w dziale z całkami podwójnymi i tak chciałabym to rozwiązać tylko potrzebuje jakiejś podpowiedzi bo nie bardzo wiem po jakim obszerze i jaką funkcję całkować

[Chromosom]

Wykorzystaj równanie sfery.

[matfka]

Hm... mam dwie kule o równaniach
\(\displaystyle{ {\left( x-x _{1} \right) ^{2}+ \left(y-y _{1} \right) ^{2}+ \left(z-z _{1} \right) ^{2}=a ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \left( x-x _{2} \right) ^{2}+ \left(y-y _{2} \right) ^{2}+ \left(z-z _{2} \right) ^{2}=a ^{2}}\)

no i mam jeszcze, z odległości między środkami równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( x _{1} -x _{2} \right) ^{2}+ \left(y _{1} -y _{2} \right) ^{2}+ \left(z _{1} -z _{2} \right) ^{2}=2\left( a-h\right)}\)

ale to chyba za mało żeby coś z tego wyliczyć

[Marvin1990]

Szkoda, że nie potrafię tu rysować. Jedna kula wpija się w drugą na głębokość 2h. Można zatem założyć że jedna kula wpija się w ścianę na głębokość h, obliczyć objętość tej obciętej czaszy i pomnożyć przez 2. Wyobraź teraz sobie że płaszczyzna Y tworzy tę ścianę i wystaje z niej ta czasza. Wbijmy teraz w środek tej czaszy pręta, który będzie osią OX. Zapomnijmy teraz o całej czaszy i spójrzmy jak ona wygląda na płaszczyźnie , skupmy się na części leżącej nad osią OX. W Krysickim w rozdziale 20.3 (u mnie str. 391) jest wzór na "objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią , która powstaje gdy łuk AB wraz z rzędnymi w końcach łuku obraca się dookoła osi OX. \(\displaystyle{ V= \{pi} \int_{a}^{b} y(x)^2 dx}\) . Równanie naszego łuku to część równania okręgu \(\displaystyle{ y(x)= \sqrt{ (a^2-x^2)}}\). Wystarczy go teraz tylko obrócić wokół osi OX.
Oczywiście mogę się całkowicie mylić.

[matfka]

Oczywiście mogę się całkowicie mylić.

Heh to dziekuje za taką pomoc

Zresztą chce to obliczyć przy pomocy całki podwójnej

[Chromosom]

Równanie górnej połówki sfery ma postać \(\displaystyle{ z(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\). Wystarczy teraz scałkować tę funkcję po obszarze będącym częścią wspólną kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le a^2}\) oraz płaszczyzny \(\displaystyle{ z=h}\), czyli \(\displaystyle{ x^2+y^2+h^2\le a^2}\), czyli \(\displaystyle{ x^2+y^2\le a^2-h^2}\). Pozostaje obliczyć całkę podwójną funkcji \(\displaystyle{ z(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\) po wskazanym obszarze. Współrzędne biegunowe będą pomocne.

[matfka]

A dlaczego bierzemy płaszczyznę \(\displaystyle{ z=h}\) ? Mogę prosić o wyjaśnienie?

O ile się nie pomyliłam w liczeniu wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi\left( a ^{3}-h ^{3} \right)}\), a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{2 }{3} \pi h ^{2}\left( 3a-h\right)}}\)

[Chromosom]

Przedstaw swoje obliczenia. Wykonaj rysunek - płaszczyzna ta umieszczona na wysokości \(\displaystyle{ h}\) dzieli figurę rozważaną w zadaniu na dwie części o równej objętości.

[matfka]

Ja liczę tak
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi }d \phi \int_{0}^{ \sqrt{a ^{2}-h ^{2} } }\sqrt{a ^{2}-r ^{2} }rdr=- \frac{1}{3}\int_{0}^{2 \pi }\left[ \left( a ^{2}-r ^{2}\right) ^{\frac{3}{2}} \right] _{0} ^{\sqrt{a ^{2}-h ^{2} } } d \phi =- \frac{1}{3} \int_{0}^{2 \pi }\left( a ^{2}- a ^{2}+h ^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}-a ^{3} = \frac{2 \pi}{3}\left( h ^{3}-a ^{3} \right)}\)

[polsfera]

Mam pytanie do analogicznego zadania. Mamy dwie kule o promieniach \(\displaystyle{ R}\),ich środki są oddalone od siebie o \(\displaystyle{ R}\). Mam policzyć objętość ich części wspólnej. Czy płaszczyzna \(\displaystyle{ z}\), która ma podzielić otrzymaną bryłę na równe części to \(\displaystyle{ z= \frac{R}{2}}\)?