Homeomorfizmy przestrzeni

[Sylwek2]

Hej, mam problem z tymi dwiema przestrzeniami. Nie moge znaleźć konkretnej funkcji ani też podać dlaczego taki homemomorfizm nie istnieje.


\(\displaystyle{ X= \left\{ 0\right\} \cup \left\{ \frac{1}{k} |\ k\in \NN\right\} \cup \ZZ}\)

\(\displaystyle{ Y= \left\{ 0,0\right\} \cup \left\{ (x,y) \in R^2\ |\ x=0\mbox{ i } \frac{1}{y}\in \ZZ \mbox{ lub } y=0 \mbox{ i } \frac{1}{x} \in \ZZ \right\} \cup \left( \ZZ \times \ZZ\right) \subset \RR^2}\)

[a4karo]

A potrafisz znaleźć homeomorfizm między \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{(0,0)\}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\setminus\{0\}}\)?

[Sylwek2]

Znalazłem tylko bijektywne kodowanie liczb naturalnych \(\displaystyle{ \Pi : \NN \times \NN \rightarrow \NN}\)
dane wzorem:
\(\displaystyle{ \Pi \left( n,m \right) = 2^n \cdot \left( 2m+1\right) -1}\)
Da się to jakoś sprytnie przekształcić na liczby całkowite?

[a4karo]

\(\displaystyle{ i \rightarrow 2i\\
-i \rightarrow 2i+1}\)

-- 8 gru 2013, o 21:23 --

A teraz pomyśl, co z tymi ciagami zbieznymi do zera...

[Sylwek2]

Ze zbieżnym do 0 to wiem, bo robiłem wcześniej podobny przykład.
Dzięki wielkie!