Wybieramy losowo i niezaleznie dwie liczby X i Y ze zbioru \(\displaystyle{ b=\left\{1,...,b \right\}}\) (tzn. dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (i,j) \in b \times b}\) mamy \(\displaystyle{ Pr(X=i \wedge Y=j)=\frac{1}{n^{2}}}\)) Wyznacz Wartość oczekiwaną dla \(\displaystyle{ Z=\left| X-Y\right|}\)
A wiec rozpisałem to jako \(\displaystyle{ E[Z]=\sum_{i=1}^{n}( \sum_{j=1}^{n}((\left| i-j\right| ) \cdot \frac{1}{n^{2}}))}\)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |i-j| = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (i-j) = 2\left[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n}j\right] = 2\left[\sum_{i=1}^{n}i(n-i+1) - \sum_{i=1}^{n} \frac{i+n}{2}n \right]}\)
To można dalej porozbijać i, korzystając ze wzorków na sumę ciągu arytmetycznego oraz na sumę kwadratów, doprowadzić obliczenia do końca.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |i-j| = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (i-j) = 2\left[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n}j\right] = 2\left[\sum_{i=1}^{n}i(n-i+1) - \sum_{i=1}^{n} \frac{i+n}{2}n \right]}\)
To można dalej porozbijać i, korzystając ze wzorków na sumę ciągu arytmetycznego oraz na sumę kwadratów, doprowadzić obliczenia do końca.