Drugie twierdzenie Gödla - szemrany dowód

[ultramathguitar]

... rys_dowodu

Załóżmy, że system nie jest sprzeczny i mamy do dyspozycji operator, który dla każdego zdania mówi nam, czy dane zdanie da się udowodnić.
Konstruujemy zdanie Godla D(d), dochodzimy do:
A) Zdanie D(d) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie D(d) nie posiada dowodu.
B) Zdanie D(d) jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie D(d) posiada dowód.

Założyliśmy, że system jest niesprzeczny, więc zdanie fałszywe nie może posiadać dowodu. Z tego i z (B) bezsprzecznie wynika, że zdanie D(d) nie może być fałszywe, zatem jest prawdziwe. To, co właśnie napisałem, stanowi dowód jego prawdziwości - jednak z (A) wiemy, że taki dowód nie istnieje!

Zatem w systemie niesprzecznym:
- albo nie istnieje operator (a przecież na tym operatorze w sporej mierze oparty jest dowód Godla), który jest w stanie zawsze zwrócić odpowiedź na pytanie, czy coś da się udowodnić,
- albo konstruowanie zdań takich jak D(d) nie powinno być dopuszczalne.

Właściwie, czy D(d) spełnia kryteria bycia zdaniem?
Po pierwsze, jest logicznie równoważne ze zdaniem "Zdanie mówiące, że nie ma dowodu, nie ma dowodu", czy nawet "Nie ma dowodu, że nie ma dowodu, że nie ma dowodu, że nie ma dowodu... (i tak ad libitum z przerwami na sen i posiłki)... tego zdania", co jest zupełnym bełkotem.
Po drugie, nie zawiera w sobie żadnej treści (poza samoodniesieniem), która pozwoliłaby nam na jego weryfikację. Równie dobrze możnaby chrząknąć i pytać o wartość logiczną wyartykułowanego dźwięku.
Po trzecie, na jakiej podstawie zakładamy, że zawsze predykat o numerze n dla argumentu n jest zdaniem w sensie logicznym?