różniczkowanie wyraz za wyrazem

[pppqqq]

chciałam rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1-z\right) ^{2}}}\) no to rozwijam sobie \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z}}\) mam dla promienia równego jeden

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \sum_{0}^{ \infty } z ^{n}}\)

no to sobie zróżniczkowałam i mam

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \left( 1-z \right) ^{2}} = \sum_{0}^{ \infty } n z ^{n-1}}\)

a w odp jest \(\displaystyle{ \left( n+1\right) z ^{n}}\)

pomocy nie rozumiem, co zrobiłam źle

[xanowron]

Musisz uważać na granice sumowania, Twój wynik jest dobry kiedy suma zaczyna się od \(\displaystyle{ 1}\), natomiast wynik z odpowiedzi sumuje szereg od \(\displaystyle{ 0}\).

[AdamL]

Wynika to stąd, że \(\displaystyle{ z^{0} = 1}\) a to przy różniczkowaniu po z ginie i suma się przesuwa, a w odpowiedzi przesunięto ją z powrotem do 0