problem z obliczeniem granicy ciągu

[zbyszek96]

Cześć
Mam takie zadanko
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}(\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}-x)}\)
Skoro tak to korzystam z tego faktu, że \(\displaystyle{ \lim a-b=\lim a -\lim b}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}x-\lim_{x\to+\infty} x=\lim_{x\to+\infty}( x-x)=0}\)
Ja rozumiem, że wyrażenie \(\displaystyle{ \infty-\infty}\) to nieoznaczoność, ale skoro to takie same elementy i rosną w taki sam sposób, to dlaczego nie mogę tak zrobić? Proszę nie podawać mi rozwiązania alternatywnego, ale wyjaśnijcie mi gdzie robię błąd.
Pozdrawiam

[kajbon]

ten wzór odnosi się tylko do granic skończonych

[JakimPL]

Co prawda tak się nie robi - sposób rozumowania jest błędny właśnie z powodu nieoznaczoności wyrażenia \(\displaystyle{ \infty-\infty}\), jednakże zdanie

rosną w taki sam sposób

jest poniekąd prawdziwe, obie te funkcje mają to samo asymptotyczne tempo wzrostu:

\(\displaystyle{ f(x)\sim g(x)}\), to jest \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=1}\)

gdzie u nas \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3}{(x+1)^2}}\), \(\displaystyle{ f(x)=x}\). To jednak wciąż nie pozwala wnioskować o granicy różnicy!

Funkcje \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) nie są zbieżne w nieskończoności, natomiast funkcja różnicy - już tak:

\(\displaystyle{ (f-g)(x)=-\frac{x (2 x+1)}{(x+1)^2}}\)

I granicy tego wyrażenia poszukujemy.