Witam, przypuśćmy, że mamy funkcję \(\displaystyle{ f: (0, 1) \rightarrow \mathbb{R}}\) taką, że:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{(x - 1)^{2}}{x}}\)
Otóż moim zadaniem jest zbadanie, czy owa funkcja jest jednostajnie ciągła na tym przedziale.
Korzystając wprost z definicji ciągłości jednostajnej otrzymuję po kolei:
\(\displaystyle{ \left| f(x) - f(y) \right| = \left| \frac{(x - 1)^{2}}{x} - \frac{(y - 1)^{2}}{y} \right| = \left| \frac{(1 - xy)(y - x)}{xy} \right|}\)
I teraz wydaje mi się oczywiste, że taka funkcja w tym przedziale nie jest jednostajnie ciągła,
bowiem biorąc odpowiednio małe \(\displaystyle{ x, y}\) wartość wyrażenia będzie rosnąć w sposób nieograniczony.
W zadaniu, które mam do zrobienia jest także podpunkt, w którym przedział określoności funkcji
jest zawężony do \(\displaystyle{ (0, \alpha)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in (0, 1)}\). Tutaj dzieje się dokładnie to samo, prawda?
A co w przypadku gdyby funkcję określić na \(\displaystyle{ (\alpha, 1)}\)?
W tym momencie chyba już przestaję rozumieć, chociaż zgaduję, że akurat teraz funkcja będzie jednostajnie ciągła.
Prosiłbym o wskazówki.
Ciągłość jednostajna funkcji na przedziale otwartym.
-
brzoskwinka1
Ciągłość jednostajna funkcji na przedziale otwartym.
Dobrze Ci się wydaje, ta funkcja na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) nie jest jednostajnie ciągła.void_t pisze: I teraz wydaje mi się oczywiste, że taka funkcja w tym przedziale nie jest jednostajnie ciągła,
bowiem biorąc odpowiednio małe \(\displaystyle{ x, y}\) wartość wyrażenia będzie rosnąć w sposób nieograniczony.
Tak.void_t pisze: W zadaniu, które mam do zrobienia jest także podpunkt, w którym przedział określoności funkcji
jest zawężony do \(\displaystyle{ (0, \alpha)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in (0, 1)}\). Tutaj dzieje się dokładnie to samo, prawda?
Dobrze zgadujesz.void_t pisze: A co w przypadku gdyby funkcję określić na \(\displaystyle{ (\alpha, 1)}\)?
W tym momencie chyba już przestaję rozumieć, chociaż zgaduję, że akurat teraz funkcja będzie jednostajnie ciągła.
Ciągłość jednostajna funkcji na przedziale otwartym.
OK, dziękuję za pomoc. Niemniej nie potrafię dobrać odpowiedniej \(\displaystyle{ \delta}\) do każdego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
i w efekcie poza machaniem rękami nie mam żadnego dowodu. (W tym podpunkcie z \(\displaystyle{ (\alpha, 1)}\))
EDIT:
Może da się to zrobić w ten sposób:
Mamy, że \(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - xy)(y - x)}{xy} \right| < \epsilon}\) i \(\displaystyle{ x,y \in (\alpha, 1)}\).
Omawiane argumenty są dowolnie blisko \(\displaystyle{ \alpha}\). Czyli można napisać, że:
\(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - xy)(y - x)}{xy} \right| < \left| \frac{(1 - {\alpha}^2)\delta}{{\alpha}^2} \right|}\)
Ale żądamy, by to było mniejsze od \(\displaystyle{ \epsilon}\), czyli zapisujemy:
\(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - {\alpha}^2)\delta}{{\alpha}^2} \right| < \epsilon}\)
A po przekształceniach: \(\displaystyle{ \delta < \frac{{\alpha}^2 \epsilon}{1 - {\alpha}^2}}\)
Stąd nasza \(\displaystyle{ \delta}\) może być równa \(\displaystyle{ \delta = \frac{1}{2}\frac{{\alpha}^2 \epsilon}{1 - {\alpha}^2}}\)
Mam nadzieję, że to ma sens.
i w efekcie poza machaniem rękami nie mam żadnego dowodu. (W tym podpunkcie z \(\displaystyle{ (\alpha, 1)}\))
EDIT:
Może da się to zrobić w ten sposób:
Mamy, że \(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - xy)(y - x)}{xy} \right| < \epsilon}\) i \(\displaystyle{ x,y \in (\alpha, 1)}\).
Omawiane argumenty są dowolnie blisko \(\displaystyle{ \alpha}\). Czyli można napisać, że:
\(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - xy)(y - x)}{xy} \right| < \left| \frac{(1 - {\alpha}^2)\delta}{{\alpha}^2} \right|}\)
Ale żądamy, by to było mniejsze od \(\displaystyle{ \epsilon}\), czyli zapisujemy:
\(\displaystyle{ \left| \frac{(1 - {\alpha}^2)\delta}{{\alpha}^2} \right| < \epsilon}\)
A po przekształceniach: \(\displaystyle{ \delta < \frac{{\alpha}^2 \epsilon}{1 - {\alpha}^2}}\)
Stąd nasza \(\displaystyle{ \delta}\) może być równa \(\displaystyle{ \delta = \frac{1}{2}\frac{{\alpha}^2 \epsilon}{1 - {\alpha}^2}}\)
Mam nadzieję, że to ma sens.