Zbadać zbieżność szeregu

[Bobi02]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1+ \frac{2013}{n} }}}\)

[norwimaj]

Sprawdź monotoniczność ciągu wyrazów. Jeśli jest od pewnego momentu monotoniczny, to można skorzystać z kryterium kondensacyjnego.

[xanowron]

Inne rozwiązanie to użycie kryterium porównawczego w wersji ilorazowej ... azowym..29 , to z jakim szeregiem należy zrobić porównanie zostawię już autorowi

[Bobi02]

W kryterium kondensacyjnym wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{ \frac{2013n}{2^n} }}\). Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), ten wykładnik jest zbieżny do zera. a \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\). Wolfram Alpha mówi, że powinno wyjść dokładnie 2.

[xanowron]

Zakładam, że wyrazy szeregu są monotoniczne od pewnego miejsca i sprawdziłeś to.

W kryterium kondensacyjnym wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{ \frac{2013n}{2^n} }}\). Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), ten wykładnik jest zbieżny do zera. a \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\). Wolfram Alpha mówi, że powinno wyjść dokładnie 2.

Co to znaczy "wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\)"? Po zastosowaniu kryterium kondensacyjnego dostajesz nowy szereg którego zbieżność masz zbadać, pokaż jak on wygląda.

[Bobi02]

\(\displaystyle{ 2^n a_{2n} = \frac{2^n}{2^n^{1+\frac{2013}{2^n}}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2^n^{\frac{2013}{2^n}}}}\)

[xanowron]

Doskonale, teraz badasz czy ten szereg jest zbieżny. \(\displaystyle{ 2^n}\) się skraca i zostaje szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n^{\frac{2013}{2^n}}}}\), co można powiedzieć o warunku koniecznym zbieżności dla tego szeregu?

[Bobi02]

Wykładnik dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) (nawiasem mówiąc \(\displaystyle{ n \ge 15}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), czyli mianownik jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\). Cały wyraz także, więc szereg jest rozbieżny.

[xanowron]

Wykładnik dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) (nawiasem mówiąc \(\displaystyle{ n \ge 15}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), czyli mianownik jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\). Cały wyraz także, więc szereg jest rozbieżny.

Wniosek jest dobry, szereg istotnie nie spełnia warunku koniecznego, więc na mocy kryterium kondensacyjnego wyjściowy szereg jest rozbieżny, ale uzasadnienie dlaczego ta granica to \(\displaystyle{ 1}\) mi się nie podoba.

Albo wykładnik jest zbieżny do zera (przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności), albo nie jest zbieżny. Nie ma czegoś takiego jak "dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\)" coś jest zbieżne. Być może chodziło tutaj o to, że wykładnik będzie monotoniczny dla \(\displaystyle{ n \ge 15}\)? Tak czy inaczej polecam jeszcze raz przyjrzeć się definicji granicy ciągu (kolejności kwantyfikatorów szczególnie).