Zbadać zbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Sprawdź monotoniczność ciągu wyrazów. Jeśli jest od pewnego momentu monotoniczny, to można skorzystać z kryterium kondensacyjnego.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Inne rozwiązanie to użycie kryterium porównawczego w wersji ilorazowej ... azowym..29 , to z jakim szeregiem należy zrobić porównanie zostawię już autorowi
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Zbadać zbieżność szeregu
W kryterium kondensacyjnym wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{ \frac{2013n}{2^n} }}\). Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), ten wykładnik jest zbieżny do zera. a \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\). Wolfram Alpha mówi, że powinno wyjść dokładnie 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Zakładam, że wyrazy szeregu są monotoniczne od pewnego miejsca i sprawdziłeś to.
Co to znaczy "wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\)"? Po zastosowaniu kryterium kondensacyjnego dostajesz nowy szereg którego zbieżność masz zbadać, pokaż jak on wygląda.Bobi02 pisze:W kryterium kondensacyjnym wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2^{n}^{ \frac{2013}{2^n} }}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{ \frac{2013n}{2^n} }}\). Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), ten wykładnik jest zbieżny do zera. a \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\). Wolfram Alpha mówi, że powinno wyjść dokładnie 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Doskonale, teraz badasz czy ten szereg jest zbieżny. \(\displaystyle{ 2^n}\) się skraca i zostaje szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n^{\frac{2013}{2^n}}}}\), co można powiedzieć o warunku koniecznym zbieżności dla tego szeregu?
-
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Wykładnik dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) (nawiasem mówiąc \(\displaystyle{ n \ge 15}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), czyli mianownik jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\). Cały wyraz także, więc szereg jest rozbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Bobi02 pisze:Wykładnik dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) (nawiasem mówiąc \(\displaystyle{ n \ge 15}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), czyli mianownik jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\). Cały wyraz także, więc szereg jest rozbieżny.
Wniosek jest dobry, szereg istotnie nie spełnia warunku koniecznego, więc na mocy kryterium kondensacyjnego wyjściowy szereg jest rozbieżny, ale uzasadnienie dlaczego ta granica to \(\displaystyle{ 1}\) mi się nie podoba.
Albo wykładnik jest zbieżny do zera (przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności), albo nie jest zbieżny. Nie ma czegoś takiego jak "dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\)" coś jest zbieżne. Być może chodziło tutaj o to, że wykładnik będzie monotoniczny dla \(\displaystyle{ n \ge 15}\)? Tak czy inaczej polecam jeszcze raz przyjrzeć się definicji granicy ciągu (kolejności kwantyfikatorów szczególnie).