Funkcja trygonometryczna - kolejność przekształceń

[mihal277]

Witam!
Mam następujący problem:
Zadanie jest takie:

\(\displaystyle{ \ctg \left(2x+ \frac{ \pi }{2}\right)= \sqrt{3}}\)

I ja to chciałem rozwiązać w sposób następujący:
1. wyciągam 2 przed nawias

\(\displaystyle{ \ctg 2\left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)= \sqrt{3}}\)

2. ogarniam z wykresu, że cotangens ma ma wartość \(\displaystyle{ \sqrt{ \pi }}\) dla \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6}+k \pi}\)

I tu pojawia się problem. Bo moim zdaniem można tę funkcję przekształcić na 2 sposoby: najpierw "ścisnąć" ją dwójką , a następnie przesunąć o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) w lewo albo na odwrót.

Niestety, jak się okazuje, kolejność nie jest dowolna i nie można najpierw przesunąć, a potem "ścisnąć". Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego tak jest?

[JakimPL]

Co to znaczy "przesunąć o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) w lewo albo na odwrót"?

[mihal277]

Chodzi mi o to, że jak mamy funkcję \(\displaystyle{ y=\ctg 2\left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\), to żeby uzyskać jej wykres należy zrobić dwie rzeczy: przesunąć ją o wektor \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) w lewo oraz "ścisnąć" 2 razy.

Niestety kolejność przekształceń nie jest dowolna i dlatego zastanawiam się, z czego to wynika.

[kropka+]

Napisz po kolei wzory funkcji, które rysujesz w obu sposobach (czyli po dwie funkcje dla obu sposobów).

[mihal277]

1.

\(\displaystyle{ y=\ctg x}\)

\(\displaystyle{ y=\ctg 2x}\)

\(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\)

2.

\(\displaystyle{ y=\ctg x}\)

\(\displaystyle{ y=\ctg \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\)

\(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\)

[kropka+]

Jak przechodzisz z wykresu \(\displaystyle{ y=\ctg 2x}\) na wykres \(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\) ?

[mihal277]

Przesuwam go o wektor
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)
w lewo.

[Jan Kraszewski]

Mnie bardziej interesuje, jak przechodzisz z \(\displaystyle{ y=\ctg \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\) do \(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\).

JK

[kropka+]

W ten sposób dostajesz wykres \(\displaystyle{ y=\ctg \left(2x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\) a nie \(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\)

[Jan Kraszewski]

W ten sposób dostajesz wykres \(\displaystyle{ y=\ctg \left(2x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\) a nie \(\displaystyle{ y=\ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\)

I tu się z Tobą nie zgadzam.

Jeśli masz wykres funkcji \(\displaystyle{ h(x)=\ctg 2x}\), to przesunięcie daje Ci wykres funkcji \(\displaystyle{ h\left( x+\frac{\pi}{4}\right)= \ctg 2 \left(x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\). Sprawdź to dla \(\displaystyle{ x=0}\).

JK

[kropka+]

Tak. Pomyliłam się.