Twierdzenie Borela-Lebesgue'a

[Majka99]

Hej.
Próbuje zrozumieć dowód twierdzenia Borela-Lebesgue'a i na samym początku powstały pewne pytanie.Na przykład:

Na początku ustalamy sobie ciąg \(\displaystyle{ x_n \subseteq X}\) oraz zbiory domknięte
\(\displaystyle{ F_n=cl\{ x_k:k \ge n\}}\) które spełniaja warunek \(\displaystyle{ F_{n+1} \subseteq F_n}\)

Mam problem ze zrozumieniem tworzenia zbioru \(\displaystyle{ F_n}\)
Zbiór ten tworzymy poprzez domykanie odpowiednich ciągów,których indeksy są wyższe niż ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) tak ?Jak to sobie wyobrazić ,w jaki sposób można domknąć ciąg ? i skąd wiemy że jest on zstępujący ? CHciałabym sobie umieć to wyobrazić,zrozumieć,bo bez tego nie przejdę dalej...

[brzoskwinka1]

Chyba powinno być \(\displaystyle{ F_n =\mbox{cl} \{ x_k : k\geq n\} ,}\) i \(\displaystyle{ F_{n+1} \subset F_n .}\)

I to jest oczywiste.

[Majka99]

Dla mnie nie. Te domknięcie tego \(\displaystyle{ x_k}\) kolejnego jak sobie wyobrazić ?
Np biore sobie \(\displaystyle{ k=2, n=1}\) i ciąg \(\displaystyle{ x_k=k+1}\)
Wyrazy wyglądają: \(\displaystyle{ 3,4,5,6....}\) i jego domknięcie jak wygląda ?

[bartek118]

To jest zależne od topologii. Może to być ten sam zbiór, może to być cała przestrzeń, może być to praktycznie cokolwiek. Natomiast inkluzja wynika z monotoniczności operacji domknięcia na przestrzeni topologicznej.

[Majka99]

A jeżeli jesteśmy w przestrzeni metryzowalnej czy to coś wnosi czy dalej jest to tylko zależne od topologi ?

[bartek118]

No to i tak nadal zależy to od metryki.

[Majka99]

Ok,idąc dalej w dowodzie dochodzimy do wniosku że

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty }F_n \neq \emptyset}\) bo gdyby tak nie było to suma dopełnien dałaby całą przestrzeń a na mocy zwartości oznaczaloby to że \(\displaystyle{ F_1 \cap ....... \cap F_n=\emptyset}\) co jest sprzeczne z tym że \(\displaystyle{ F_n=cl\left\{ x_k:k \ge n\right\}}\) Dlaczego ?
Wynika to z jakiejś definicji domknięcia ? Skąd taki wniosek ?

[bartek118]

Przecież \(\displaystyle{ \{x_k \ : \ k \geq n \} \cap \{x_k \ : \ k \geq n+1 \} = \{ x_k \ : \ k \geq n+1 \} \neq \emptyset}\). W szczególności zatem domknięcia też nie mogą się kroić pusto.