Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Podać przykład przestrzeni unitarnej X oraz jej domkniętej podprzestrzeni Y takiej, że
\(\displaystyle{ Y\oplus Y^{\perp} \neq X}\)
Proszę o pomoc i z góry za nią dziękuję
\(\displaystyle{ Y\oplus Y^{\perp} \neq X}\)
Proszę o pomoc i z góry za nią dziękuję
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią unitarną która nie jest przestrzenią Hilberta. Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R}}\) taki, że \(\displaystyle{ f(u)}\) nie jest p ostaci \(\displaystyle{ \left< u, x\right>}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x\in X .}\)
Niech \(\displaystyle{ Y=\mbox{ Ker}f}\) i niech \(\displaystyle{ x\perp Y .}\) Twierdzimy, że \(\displaystyle{ x=0 .}\) Istotnie gdyby \(\displaystyle{ x \neq 0 ,}\) to dla funkcjonału \(\displaystyle{ \varphi (u) =\left< u, x\right>}\) zachodziłą by implikacja
Niech \(\displaystyle{ Y=\mbox{ Ker}f}\) i niech \(\displaystyle{ x\perp Y .}\) Twierdzimy, że \(\displaystyle{ x=0 .}\) Istotnie gdyby \(\displaystyle{ x \neq 0 ,}\) to dla funkcjonału \(\displaystyle{ \varphi (u) =\left< u, x\right>}\) zachodziłą by implikacja
\(\displaystyle{ \forall_{u\in X} (f(u) =0 \Rightarrow \varphi (u) =0)}\)
Weźmy dowolny \(\displaystyle{ u\in X}\) tali, że \(\displaystyle{ f(u) \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ v\in X}\) wówczas \(\displaystyle{ v-\frac{f(v)}{f(u)} u\in \mbox{ Ker}f ,}\) więc \(\displaystyle{ f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .}\)
Sprzeczność.-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Tylko, że ja miałam podać przykład przestrzeni unitarnej i jej domkniętej podprzestrzeni...
Nie bardzo rozumiem to co napisała brzoskwinka1
Nie bardzo rozumiem to co napisała brzoskwinka1
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Ano podała Ci przykład ogólny, gdzie za \(\displaystyle{ X}\) możesz sobie podstawić cokolwiek niezupełnego. [/latex]jadzia18811 pisze:Tylko, że ja miałam podać przykład przestrzeni unitarnej i jej domkniętej podprzestrzeni...
Nie bardzo rozumiem to co napisała brzoskwinka1
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
aha...
nie zaczaiłam
to tylko jeszcze jedno pytanie- czemu brzoskwinka doszła do sprzeczności? To jakiś dowód tego czy jak?-- 2 gru 2013, o 16:36 --rozwiązanie prawie zostało zaakceptowane przez prowadzącego, podoba mu się pomysł, więc bardzo dziękuję
piszę prawie, bo poprosił o wyjaśnienie dlaczego istnieje ciągły i liniowy funkcjonał, a ja zgłupiałam.
Proszę o pomoc raz jeszcze.
nie zaczaiłam
to tylko jeszcze jedno pytanie- czemu brzoskwinka doszła do sprzeczności? To jakiś dowód tego czy jak?-- 2 gru 2013, o 16:36 --rozwiązanie prawie zostało zaakceptowane przez prowadzącego, podoba mu się pomysł, więc bardzo dziękuję
piszę prawie, bo poprosił o wyjaśnienie dlaczego istnieje ciągły i liniowy funkcjonał, a ja zgłupiałam.
Proszę o pomoc raz jeszcze.
Oprócz istnienia tego funkcjonału zwrócił mi uwagę, że nie rozumie tej ostatniej równości:brzoskwinka1 pisze:Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R}}\) taki, że \(\displaystyle{ f(u)}\) nie jest p ostaci \(\displaystyle{ \left< u, x\right>}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x\in X .}\)
Proszę o jakieś wyjaśnienie, choć nie ukrywam, że znacznie bardziej zależy mi na tym wcześniejszym problemie- istnienia funkcjonału.brzoskwinka1 pisze:więc\(\displaystyle{ f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .}\)Sprzeczność.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonałów charakteryzuje przestrzenie Hilberta. Dokładniej, przestrzeń unitarna \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią Hilberta (jest zupełna) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciągły funkcjonał liniowy na \(\displaystyle{ X}\) jest takiej postaci. Ponieważ w Twoim przypadku \(\displaystyle{ X}\) jest niezupełna, istnieje funkcjonał, który nie jest tej postaci.jadzia18811 pisze:Proszę o pomoc raz jeszcze.
brzoskwinka1 pisze:Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R}}\) taki, że \(\displaystyle{ f(u)}\) nie jest p ostaci \(\displaystyle{ \left< u, x\right>}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x\in X .}\)
Element \(\displaystyle{ v- \frac{f(v)}{f(u)}u}\) należy do jądra \(\displaystyle{ f}\), tzn.jadzia18811 pisze:Oprócz istnienia tego funkcjonału zwrócił mi uwagę, że nie rozumie tej ostatniej równości:
Proszę o jakieś wyjaśnienie, choć nie ukrywam, że znacznie bardziej zależy mi na tym wcześniejszym problemie- istnienia funkcjonału.brzoskwinka1 pisze:więc\(\displaystyle{ f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .}\)Sprzeczność.
\(\displaystyle{ f(v- \frac{f(v)}{f(u)}u)=0.}\)
Użyj liniowości \(\displaystyle{ f}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
... po czym faktu, że skoro ten element należy do jądra \(\displaystyle{ f}\), to należy też do jądra \(\displaystyle{ \varphi}\).
Sprzeczność polega na tym, że założyliśmy że \(\displaystyle{ f}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \langle u, x \rangle}\), po czym otrzymaliśmy że jest on wielokrotnością funkcjonału o tej postaci (a oczywiście rodzina funkcjonałów tej postaci jest 'domknięta' ze względu na mnożenie przez skalary).
To rozumowanie rozwiązuje Twój problem, bowiem nasz funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) nie jest zerowy - w szczególności \(\displaystyle{ Y=Ker f\neq X}\) - ale \(\displaystyle{ Y^\perp=0}\), więc \(\displaystyle{ Y\oplus Y^\perp=Y\neq X}\).
Jeżeli cała ta zabawa jest dla Ciebie trochę zbyt abstrakcyjna, weź sobie przestrzeń \(\displaystyle{ c_{00}}\) z normą \(\displaystyle{ \ell^2}\), rozważ funkcjonał \(\displaystyle{ f((x_n))=\sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}k}\) i wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ Y=Ker f}\) to masz to czego potrzebujesz w zadaniu - jest to po prostu ukonkretyzowanie ogólnego algorytmu wskazanego przez brzoskwinkę.
Sprzeczność polega na tym, że założyliśmy że \(\displaystyle{ f}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \langle u, x \rangle}\), po czym otrzymaliśmy że jest on wielokrotnością funkcjonału o tej postaci (a oczywiście rodzina funkcjonałów tej postaci jest 'domknięta' ze względu na mnożenie przez skalary).
To rozumowanie rozwiązuje Twój problem, bowiem nasz funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) nie jest zerowy - w szczególności \(\displaystyle{ Y=Ker f\neq X}\) - ale \(\displaystyle{ Y^\perp=0}\), więc \(\displaystyle{ Y\oplus Y^\perp=Y\neq X}\).
Jeżeli cała ta zabawa jest dla Ciebie trochę zbyt abstrakcyjna, weź sobie przestrzeń \(\displaystyle{ c_{00}}\) z normą \(\displaystyle{ \ell^2}\), rozważ funkcjonał \(\displaystyle{ f((x_n))=\sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}k}\) i wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ Y=Ker f}\) to masz to czego potrzebujesz w zadaniu - jest to po prostu ukonkretyzowanie ogólnego algorytmu wskazanego przez brzoskwinkę.
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Podać przykład przestrzeni unitarnej X...
Baaardzo, bardzo dziękuję
wasza pomoc powoduje, że mogę iść w końcu spać wcześniej, bo nic nie muszę robić.
wasza pomoc powoduje, że mogę iść w końcu spać wcześniej, bo nic nie muszę robić.