Granica funkcji z logarytmem

[Lirdoner]

Witam, mam problem z taką granicą
\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty} (x+1)\ln{\frac{2x+1}{x+1}} - x\ln{2}}\)
Po obliczeniach doszedłem do formy
\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty} x\ln{\frac{2x+1}{2x+2}} + \ln{\frac{2x+1}{x+1}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ [\infty \cdot 0 + \ln{2}]}\)
Po wpisaniu równania do wolframalpha pokazuje mi wynik
-1/2 + ln2

Czy mój wynik jest dobry czy gdzieś popełniłem błąd?

[Spektralny]

Hmm nie widzę abyś miał jakiś wynik tutaj. Zauważ, że

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl} x\ln \frac{2x+1}{2x+2} &=& \ln \left(\frac{2x+1}{2x+2} \right)^x\\
& = &\ln \left(\frac{2x+2 - 1}{2x+2} \right)^x \\
&= &\ln \left(\frac{2x+1}{2x+2} \right)^x \\
&= & \ln \left(1 - \frac{1}{2x+2} \right)^x\\
& = & \ln \left( \left( 1 - \frac{1}{2x+2} \right)^{-2x}\right)^{-\frac12}\\
& \longrightarrow & \ln e^{-\frac12}\\
& = & -\frac{1}{2}\end{array}}\)

gdy \(\displaystyle{ x\to \infty}\).