Dowód dla funcji ograniczonej

[karolo15]

Cześć, mam prośbę, czy ktoś umie rozwiązać poniższe zadanie:


Wykazać, że gdy funkcja ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ograniczona wówczas równanie:

\(\displaystyle{ y'+y=f(t)}\)

ma jedno rozwiązanie ograniczone \(\displaystyle{ y=y(t)}\).

[szw1710]

Całką ogólną równania jest \(\displaystyle{ y(t)=Ce^{-t}+e^{-t}\int_0^t e^{-u}f(u)\dd u}\). Trzeba pokazać, że jest to funkcja ograniczona.

[karolo15]

rozumiem, że chodzi tutaj o to żeby pokazać ze ta całka jest skonczona? ja to zrobić? proszę o pomoc...

[Kartezjusz]

Skorzystaj z ograniczoności funkcji podcałkowych. Nie zapomnij też o jedyności rozwiązania- przy danym warunku początkowym. Bez niego jej nie ma.

[norwimaj]

Całką ogólną równania jest \(\displaystyle{ y(t)=Ce^{-t}+e^{-t}\int_0^t e^{-u}f(u)\dd u}\).

W wykładniku chyba powinno być \(\displaystyle{ u}\) zamiast \(\displaystyle{ -u}\).

W każdym razie ta funkcja nie jest ograniczona nawet dla \(\displaystyle{ f=0}\). Jest ograniczona na każdym przedziale \(\displaystyle{ [a,+infty)}\) i być może to miał na myśli poeta pisząc treść zadania.

rozumiem, że chodzi tutaj o to żeby pokazać ze ta całka jest skonczona?

Że jest skończona, to oczywiste. Ale Twoim zadaniem jest pokazanie, że funkcja \(\displaystyle{ y(t)=Ce^{-t}+e^{-t}\int_0^t e^{u}f(u)\dd u}\) jest ograniczona (na przedziale \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) ?)

Jeśli \(\displaystyle{ |f(t)|\le M}\) dla każdego \(\displaystyle{ t}\), to dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy nierówność

\(\displaystyle{ \left|\int_0^t e^{u}f(u)\dd u\right|\le M\int_0^t e^{u}\dd u.}\)

[Kartezjusz]

A dlaczego. Przyjrzyjsię równaniu. na samej górze.

[szw1710]

norwimaj, masz rację \(\displaystyle{ e^u}\). Źle przepisałem z kartki. Dziękuję