Cześć
Wykaż, że ciało liczb rzeczywistych i wymiernych nie mają automorfizmów poza tożsamościowymi.
Proszę mi pomóc, bo zupełnie nie wiem jak to ruszyć.
Myślę o dowodzie nie wprost. Myślę też, że trzeba się czepić zachowania działania, bo bijekcja jest raczej zachowana.
Pozdrawiam!
automorfizm ciał
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3949
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 931 razy
automorfizm ciał
Każdy automorfizm przenosi 1 na 1, a więc również \(\displaystyle{ \tfrac{1}{n}}\) na \(\displaystyle{ \tfrac{1}{n}}\). Oznacza to, że każda liczba wymierna jest zachowywana przez automorfizm ciała liczb wymiernych bądź rzeczywistych.
W przypadku ciała liczb rzeczywistych, niech \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) będzie automorfizmem. Zauważmy, że \(\displaystyle{ f}\) przenosi liczby dodatnie na dodatnie. Istotnie, niech \(\displaystyle{ x >0}\) wówczas \(\displaystyle{ x=y^2}\) dla \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}>0}\). Stąd \(\displaystyle{ f(x) = f(y^2) =f(y)^2 > 0}\).
Dobrze, teraz pokażmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnący. Niech \(\displaystyle{ x<y}\). Wówczas \(\displaystyle{ y-x>0}\) skąd \(\displaystyle{ f(y)-f(x)=f(y-x)>0}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnącą bijekcją, \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, która jest identycznością na gęstym zbiorze liczb wymiernych. Oznacza to, że \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
W przypadku ciała liczb rzeczywistych, niech \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) będzie automorfizmem. Zauważmy, że \(\displaystyle{ f}\) przenosi liczby dodatnie na dodatnie. Istotnie, niech \(\displaystyle{ x >0}\) wówczas \(\displaystyle{ x=y^2}\) dla \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}>0}\). Stąd \(\displaystyle{ f(x) = f(y^2) =f(y)^2 > 0}\).
Dobrze, teraz pokażmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnący. Niech \(\displaystyle{ x<y}\). Wówczas \(\displaystyle{ y-x>0}\) skąd \(\displaystyle{ f(y)-f(x)=f(y-x)>0}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnącą bijekcją, \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, która jest identycznością na gęstym zbiorze liczb wymiernych. Oznacza to, że \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).