Ciągłość i norma operatora c_0 -> l_3.

[miszczuskc]

Witam!
Potrzebuję pomocy przy rozwiązywaniu następującego zadania:
Wykaż, że operator dany wzorem \(\displaystyle{ T((x_{n})^{ \infty }_{n=1})=(( \frac{-1}{3})^{n}x_{n})^{\infty}_{n=1}}\) jest ciągłym operatorem z \(\displaystyle{ c_{0}}\) w \(\displaystyle{ l_{3}}\). Policz jego normę.

Liniowość jest łatwo widoczna. Chcemy sprawdzić ciągłość odwzorowania i to, że obraz ciągu zbieżnego do zera faktycznie jest w \(\displaystyle{ l_{3}}\). Sprawdza się to bardzo podobnie. Aby sprawdzić ciągłość wystarczy sprawdzić ciągłość w zerze, bo T jest liniowy.
\(\displaystyle{ (x_{n})^{ \infty }_{n=1} \in c_{0}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n}=0}\)
\(\displaystyle{ ||(x_{n})^{ \infty }_{n=1}||_{c_{0}}=sup_{n} |x_{n}| \le \delta}\)
\(\displaystyle{ ||T((x_{n})^{ \infty }_{n=1})||_{l_{3}}= \sqrt[3]{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{27} |x_{n}|^{3} } = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\sum_{n=1}^{\infty} |x_{n}|^{3} }}\) i to mogę ograniczyć przez deltę, co nic mi nie da. Nie wiem co z tym zrobić za bardzo. Chciałbym wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ x_{n}}\) zbiega do zera, ale nie wiem jak to zrobić. Przez wartość bezwzględną w warunku na należenie do \(\displaystyle{ l_{3}}\) tracimy przydatną własność, że ten szereg jest naprzemienny. Może da się coś z tym zrobić? Proszę o pomoc.

Pozdrawiam

[Spektralny]

i to mogę ograniczyć przez deltę

Co takiego?

\(\displaystyle{ \|T(x_n)_{n=1}^\infty\| = \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{|x_k|^3}{(3^{k})^3} \right)^{1/3}\leqslant \sup_{m\in \mathbb{N}}|x_m| \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3^{3k}} \right)^{1/3} = \|(x_n)_{n=1}^\infty\|_{c_0} \sqrt[3]{\frac{1}{26}}}\)

Norma ta jest osiągana, np. dla wektora

\(\displaystyle{ (1,0,0,0,0,\ldots).}\)

Chciałbym wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ x_{n}}\) zbiega do zera, ale nie wiem jak to zrobić.

Nie jest to konieczne. Ten sam wzór definiuje również operator \(\displaystyle{ \ell_\infty \to \ell_3}\).

[miszczuskc]

Miałem na myśli wyraz szeregu. O masakra, jakie to proste. Nic mi nie wychodziło, bo zapomniałem o n-tej potędze przy 1/3. Tak jest jak się robi zadania przed śniadaniem. Dziękuję serdecznie!