Równanie pierwiastkowe

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 05:44

\(\displaystyle{ x^2-4x-6= \sqrt{2x^2-8x+12}}\)

Jak to rozwiązać (przez podstawienie zmiennej \(\displaystyle{ t}\))? Autor sugeruje \(\displaystyle{ t = \sqrt{x^2-4x+6}}\), ale nie rozumiem.

TPB · Post autor: **TPB** » 23 lis 2013, o 07:18

Zobacz, że pod pierwiastkiem masz \(\displaystyle{ 2t}\). Jeżeli zastosujesz zalecane podstawienie, to otrzymasz równanie postaci: \(\displaystyle{ t = \sqrt{2t}}\). Oczywiście przy założeniu, że \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Następne rozwiązujesz to równanie ze względu na zmienną \(\displaystyle{ t}\), a potem wracasz do zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Zostaje Ci na koniec tylko rozwiązać równania kwadratowe, które otrzymasz.

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 14:03

Pod pierwiastkiem mam \(\displaystyle{ 2t}\), lecz po lewej stronie nie mam chyba \(\displaystyle{ t}\)? Przy \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ 4x}\) mam identyczne znaki po obu stronach, ale \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 12}\) są przeciwnych znaków

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 23 lis 2013, o 14:35

TPB namieszał. Masz równanie \(\displaystyle{ t ^{2}= \sqrt{2}t}\).
Wszysto na lewą stronę i rozwiązujesz równanie kwadratowe dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

Post autor: **Chromosom** » 23 lis 2013, o 14:43

\(\displaystyle{ x^2-4x+6=\sqrt2\cdot\sqrt{x^2-4x+6}\\x^2-4x+6-\sqrt2\cdot\sqrt{x^2-4x+6}=0\\\sqrt{x^2-4x+6}\left(\sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt2\right)=0}\)

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 14:49

Ale czemu \(\displaystyle{ \sqrt{2x^2-8x+12} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2-4x-6}}\)? Nie powinno być \(\displaystyle{ +6}\)?

Post autor: **Chromosom** » 23 lis 2013, o 15:04

Błędnie przeczytałem treść zadania; poprawiłem.

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 15:22

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-4x+6}\left(\sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt2\right)=0 \\
t = \sqrt{x^2-4x+6} \\
t(t-\sqrt{2}) = 0 \\
t = 0 \vee t = \sqrt{2} \\ \\
I \\
\sqrt{2} = \sqrt{x^2-4x+6} \\
x^2-4x+6=2 \\
x^2-4x+4=0 \\
(x-2)^2 = 0 \\
x=2 \\\\
II \\
\sqrt{x^2-4x+6} = 0 \\
x^2-4x+6 = 0 \\
(x-2)^2 + 2 = 0 \\
(x-2)^2 = -2 \\
x \notin R}\)

Tymczasem odpowiedziami są -2 i 6 :c

kacper218 · Post autor: **kacper218** » 23 lis 2013, o 16:38

Bo z jednej strony masz \(\displaystyle{ -6}\), a z drugiej \(\displaystyle{ 6}\).

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 17:03

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 23 lis 2013, o 17:15

\(\displaystyle{ t^2 - 12 = \sqrt{2} t}\)

sjkfxdlgas · Post autor: **sjkfxdlgas** » 23 lis 2013, o 17:47

! rozumiem.

\(\displaystyle{ x^2-4x-6 = \sqrt{2x^2-8x+12} \\
x^2-4x+6-12 = \sqrt{2x^2-8x+12} \\
t = \sqrt{x^2-4x+6}, t \in R _{+} \\
t^2-12=\sqrt{2}t \\
t^2 - \sqrt{2}t - 12 = 0 \\
t _{1}=-2\sqrt{2} \notin D \\
t _{2}= 3\sqrt{2} \\
\sqrt{x^2-4x+6} = 3\sqrt{2} \\
x^2-4x+6 = 18 \\
x^2-4x-12=0 \\
x _{1} = -2 \\
x _{2} = 6 \\
x \in \left\{ -2;6\right\}}\)-- 24 lis 2013, o 23:36 --Kolejne równanie pierwiastkowe...

\(\displaystyle{ \sqrt{10+x} + \sqrt{10-x} = \frac{x}{3}}\)

Dziedzina to \(\displaystyle{ x \in \left\langle -10;10\right\rangle}\); co dalej?