Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać, że takowy nie
istnieje oraz element najmniejszy lub wykazać, że takowy nie istnieje, jeśli
\(\displaystyle{ A= \left\{ \frac{2013n+k}{n+2013k}: n,k \in \ZZ, n, k \ge 10000 \right\}}\)
Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać
Cześć, widzę, że również rozwiązujesz zadania z puli jawnej na kolokwium
Mi się udało znaleźć kresy zbioru A, ale nie do końca rozumiem jak wykazać, że nie istnieje element największy lub najmniejszy.
\(\displaystyle{ \sup A = 2013 \not\in A}\)
\(\displaystyle{ \inf A = \frac{1}{2013} \not\in A}\)
\(\displaystyle{ 2013}\) jest ograniczeniem górnym, ponieważ
\(\displaystyle{ \forall n,k \in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} < 2013 \iff 2013n + k < 2013n + 2013^{2}k \iff \\ k < 2013^{2}k}\)
\(\displaystyle{ n, k \in N}\), ponieważ \(\displaystyle{ n, k \in Z \wedge n, k \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 2013}\) jest kresem górnym, ponieważ
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \quad \exists n, k\in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ \frac{2013n + 2013^{2}k - (2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ 2013 - \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff -\frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > - \varepsilon \iff \\ \varepsilon > \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} \iff n + 2013k > \frac{(2013^{2} - 1)k}{\varepsilon}}\)
Za \(\displaystyle{ k}\) podstawiamy na przykład \(\displaystyle{ 10000}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ n + 20130000 > n > \frac{(2013^{2} - 1)10000}{\varepsilon}}\)
Z zasady Archimedesa wynika, że istnieją takie \(\displaystyle{ n, k}\)
Podobnie postępujemy z kresem dolnym.
Natomiast nie do końca rozumiem jak wykazać, że istnieje/nie istnieje element największy lub najmniejszy. Czy mógłby ktoś dość schludnie to wytłumaczyć?
Mi się udało znaleźć kresy zbioru A, ale nie do końca rozumiem jak wykazać, że nie istnieje element największy lub najmniejszy.
\(\displaystyle{ \sup A = 2013 \not\in A}\)
\(\displaystyle{ \inf A = \frac{1}{2013} \not\in A}\)
\(\displaystyle{ 2013}\) jest ograniczeniem górnym, ponieważ
\(\displaystyle{ \forall n,k \in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} < 2013 \iff 2013n + k < 2013n + 2013^{2}k \iff \\ k < 2013^{2}k}\)
\(\displaystyle{ n, k \in N}\), ponieważ \(\displaystyle{ n, k \in Z \wedge n, k \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 2013}\) jest kresem górnym, ponieważ
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \quad \exists n, k\in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ \frac{2013n + 2013^{2}k - (2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ 2013 - \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff -\frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > - \varepsilon \iff \\ \varepsilon > \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} \iff n + 2013k > \frac{(2013^{2} - 1)k}{\varepsilon}}\)
Za \(\displaystyle{ k}\) podstawiamy na przykład \(\displaystyle{ 10000}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ n + 20130000 > n > \frac{(2013^{2} - 1)10000}{\varepsilon}}\)
Z zasady Archimedesa wynika, że istnieją takie \(\displaystyle{ n, k}\)
Podobnie postępujemy z kresem dolnym.
Natomiast nie do końca rozumiem jak wykazać, że istnieje/nie istnieje element największy lub najmniejszy. Czy mógłby ktoś dość schludnie to wytłumaczyć?