Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
kapokapo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 21 lis 2013, o 03:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać

Post autor: kapokapo » 21 lis 2013, o 03:36

Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać, że takowy nie
istnieje oraz element najmniejszy lub wykazać, że takowy nie istnieje, jeśli
\(\displaystyle{ A= \left\{ \frac{2013n+k}{n+2013k}: n,k \in \ZZ, n, k \ge 10000 \right\}}\)

ostas12345
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 12 paź 2013, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1 raz

Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać

Post autor: ostas12345 » 21 lis 2013, o 14:08

Cześć, widzę, że również rozwiązujesz zadania z puli jawnej na kolokwium
Mi się udało znaleźć kresy zbioru A, ale nie do końca rozumiem jak wykazać, że nie istnieje element największy lub najmniejszy.

\(\displaystyle{ \sup A = 2013 \not\in A}\)
\(\displaystyle{ \inf A = \frac{1}{2013} \not\in A}\)

\(\displaystyle{ 2013}\) jest ograniczeniem górnym, ponieważ

\(\displaystyle{ \forall n,k \in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} < 2013 \iff 2013n + k < 2013n + 2013^{2}k \iff \\ k < 2013^{2}k}\)

\(\displaystyle{ n, k \in N}\), ponieważ \(\displaystyle{ n, k \in Z \wedge n, k \ge 1}\)

\(\displaystyle{ 2013}\) jest kresem górnym, ponieważ

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \quad \exists n, k\in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ \frac{2013n + 2013^{2}k - (2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ 2013 - \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff -\frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > - \varepsilon \iff \\ \varepsilon > \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} \iff n + 2013k > \frac{(2013^{2} - 1)k}{\varepsilon}}\)

Za \(\displaystyle{ k}\) podstawiamy na przykład \(\displaystyle{ 10000}\) i otrzymujemy

\(\displaystyle{ n + 20130000 > n > \frac{(2013^{2} - 1)10000}{\varepsilon}}\)

Z zasady Archimedesa wynika, że istnieją takie \(\displaystyle{ n, k}\)

Podobnie postępujemy z kresem dolnym.
Natomiast nie do końca rozumiem jak wykazać, że istnieje/nie istnieje element największy lub najmniejszy. Czy mógłby ktoś dość schludnie to wytłumaczyć?

ODPOWIEDZ