różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych

[Majka99]

Hej
Mam taki przykład :

\(\displaystyle{ f(x,y)= \sqrt{x^4+y^4}}\)

Mam zbadać jej różniczkowalność.
Po pierwsze sprawdzam jej ciągłość.Tu korzystam z zmiennych biegunowych,wychodzi że jest ciągła.
Wyliczam pochodne cząstkowe,i sprawdzam ich ciągłość.
Pochodna cząstkowa po x:

\(\displaystyle{ \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+y^4}}}\)

Na ćwiczeniach zostało powiedziane,że jest to ciągłe poza \(\displaystyle{ (0,0)}\).Jak to sprawdzić ?Poprorstu można to stwierdzić,bo widać ?
W \(\displaystyle{ (0,0)}\) wiemy,że istnieje,ale nie wiemy czy jest ciągła więc korzystamy z zmiennych biegunowych i wychodzi,że jest.

I mam jeszcze jedno pytanie :czy jeżeli funkcja jest ciągła i też ma pochodne cząstkowe ciągłe,to czy z tego wynika że funkcja jest różniczkowalna ?

[Chromosom]

Napisz, w jaki sposób badasz ciągłość funkcji za pomocą współrzędnych biegunowych.

Pochodna cząstkowa \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje, nie jest zatem możliwe, żeby była w tym punkcie ciągła.

[Majka99]

No to ciągłość funkcji :
\(\displaystyle{ x=\cos\alpha\cdot r \\
y=\sin\alpha\cdot r}\)

Więc tak;
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0 }\sqrt{(\cos\alpha\cdot r)^4+(\sin\alpha\cdot r)^4}= \lim_{ r\to0 }r^2\cdot \sqrt{(\cos^4\alpha)+(\sin^4\alpha)}=\lim_{ r\to0 }r^2\cdot \sqrt{(1-2\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha)}=r^2=0}\)

[Chromosom]

Należy jeszcze ograniczyć od góry pierwiastek i skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach.

W ten sposób można zbadać ciągłość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), ale dla nas istotna jest ciągłość w dowolnym punkcie.

[Majka99]

W jaki sposob mozna to zrobic ?

[Chromosom]

Funkcja jest ciągła, gdy zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\bigl(f(x,y)-f(x_0,y_0)\bigr)=0}\)

Można też skorzystać z ciągłości funkcji złożonej: wielomian oraz pierwiastek są funkcjami ciągłymi, zatem również funkcja rozważana w zadaniu jest ciągła.