Problem z wyznaczeniem dziedziny funkcji

[ksyssiu]

Mam taką funkcję

\(\displaystyle{ y=\arcsin \frac{x}{2+x^2}+ \frac{1}{1-\tan x}}\)

Wychodzi mi taka dziedzina:
\(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ \frac{ \pi }{4}+k \pi : k\in\ZZ\right\}}\)

A w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left( \left\{ \frac{ \pi }{2}+k \pi : k\in\ZZ\right\} \cup \left\{ \frac{ \pi }{4}+k \pi : k\in\ZZ\right\}\right)}\)

Co jest nie tak?

[Qń]

Nie uwzględniłeś dziedziny \(\displaystyle{ \tg x}\).

Q.

[ksyssiu]

A mógłbyś to doprecyzować? Bo nie wiem zbytnio jak się do tego zabrać

[Snayk]

Popatrz sobie na wykres tangensa i pomyśl dla jakich ixów tangens jest nieokreślony.

[Qń]

Ale co miałbym doprecyzować? Musisz z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) wyrzucić jeszcze wszystkie \(\displaystyle{ x}\) dla których funkcja \(\displaystyle{ \tg x}\) jest nieokreślona. A dziedzinę tangensa znasz na pewno.

Q.

[ksyssiu]

Są to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{2}}\). Czy to znaczy, że w zapisaniu dziedziny zawsze muszę je uwzględniać?

[Qń]

Nie, są to wszystkie argumenty postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego.

Oczywiście trzeba je uwzględnić w dziedzinie, bo jak moglibyśmy policzyć wartość wyjściowej funkcji na przykład w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

Q.

[ksyssiu]

Dzięki, już zaczynam to rozumieć. Korzystając, że już założyłem temat, a z kilkoma rzeczami wciąż mam problem pozwolę sobie zadać pytania tutaj, nie robiąc kilku niepotrzebnych tematów.

Jak wyznaczyć dziedzinę takiego czegoś:
\(\displaystyle{ y=arctg \frac{1}{x-1}+ \frac{1}{arcctg \pi - \frac{ \pi }{4} }}\)
Czy w pierwszym wyrażeniu zadania wystarczy założyć, że \(\displaystyle{ x-1 \neq 0}\)?
Natomiast w drugim myślałem, że wystarczy zamienić wyrażenie na ctg i nie tym skończyć, gdyż nie ma tu żadnych x. Czy moje rozumowanie jest prawidłowe?