Układ równań różniczkowych - zamiana zmiennych (w. począt.)

[lopcio]

Witam,

Po 3 latach odpoczynku od matematyki na studiach ona wróciła Nie proszę o pomoc w rozwiązaniu całego zadania, tylko o sprawdzenie, czy dobrze je przekształciłem przy zamianie zmiennych. Z dalszą częścią powinienem sobie poradzić.

Mam do rozwiązania następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych liniowych:
\(\displaystyle{ 4my _{1}'' +my_{2}''+4ky_{1}-2ky_{2}=3Pcos2 \omega x}\)
\(\displaystyle{ my_{1}''+my_{2}''-2ky_{1}+2ky_{2}=-Pcos 2 \omega x}\)
gdzie
\(\displaystyle{ y_1=y_1(x)}\)
\(\displaystyle{ y_2=y_2(x)}\)
\(\displaystyle{ m, k, P}\) - dane stałe dodatnie
\(\displaystyle{ omega= sqrt{ frac{k}{m} }
x in [0, infty )}\)
Przy następujących warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ y_{1}(0)=2y_{0}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(0)=y_0}\)
\(\displaystyle{ y_{2}'(0)=v_{0}}\)

Zastosowałem zamianę zmiennych, wprowadzając \(\displaystyle{ r=\omega x}\) i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 4y_1''(r)+y_2''(r)+4y_1(r)-2y_2(r)= \frac{3Pcos 2r}{k}}\)
\(\displaystyle{ y_2''(r)+y_2''(r)-2y_1(r)+2y_2(r)= \frac{-Pcos 2r}{k}}\)

A przekształcone warunki początkowe to:
\(\displaystyle{ y_1(0)=2y_0}\)
\(\displaystyle{ y_1'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y_2(0)=y_0}\)
\(\displaystyle{ y_2'(0)= \frac{v_0}{\omega}}\)

Czy dobrze to przekształciłem? Jeśli będzie trzeba, to mogę podać całe przekształcenie, tylko wtedy jest trochę pisania.

[Kartezjusz]

Jedyne co budzi moje wątpliwości to czwarty warunek początkowy. Jak go wyprowadziłeś?

[lopcio]

Dziękuję za odpowiedź.

Powiem szczerze, że robiłem to dość automatycznie, na podstawie przykładu robionego na zajęciach, i tam zostało pokazane, że w warunkach początkowych na funkcje \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) pozostają one bez zmian, a przy warunkach na pierwsze pochodne tych funkcji, wcześniejsze wartości dzielimy przez \(\displaystyle{ \omega}\).