Wyznaczyć zbiór wartości funkcji.

[Rafal28]

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \cos x + \cos \frac{x}{2}}\) .

Funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) można doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - 1.}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ t = \cos x}\) otrzymuję \(\displaystyle{ p(t) = 2t^2 + t - 1}\).

Obliczam:
\(\displaystyle{ x_w = - \frac{1}{4} \quad \quad y_w = - \frac{9}{8} \quad \quad f(-1) = 0 \quad \quad f(1) = 2}\)

Stwierdzam, że \(\displaystyle{ ZW_f = \left\langle - \frac{9}{8}, 2 \right\rangle}\)

Teraz moje pytanie.
Dlaczego na podstawie funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ p(t)}\) stwierdzamy o zbiorze wartości funkcji nie-kwadratowej \(\displaystyle{ f(x)}\)? Po prostu nie mogę zrozumieć, że szukany zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ p(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in <-1, 1>}\) jest tym właściwym.

[lukasz1804]

Wystarczy zauważyć, że masz do czynienia ze złożeniem: \(\displaystyle{ f(x)=p(\cos x)}\). Zatem funkcja \(\displaystyle{ p}\) przyjmuje wartości tylko dla tych argumentów, które są wartościami funkcji wewnętrznej (kosinus).