Podzielność liczb

[matfiz12]

1. Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 11?
Od razu powiem, że wiem, iż takie liczby istnieją i wiem jakie to liczby tylko nie wiem jak to udowodnić...
2. Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Która z liczb mogłaby być tą resztą?
Chodzi mi tutaj głownie o tą część pytania: Ile jest takich reszt?

[Jo-anna]

Ad.1
\(\displaystyle{ n, n+1}\) to kolejne liczby naturalne
suma ich ma być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), czyli suma ma być wielokrotnością jedenastki, co zapisze jako \(\displaystyle{ 11k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\)
\(\displaystyle{ n+n+1=11k}\)
\(\displaystyle{ n= \frac{11k-1}{2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ n \in N}\), a ułamek nasz tj. \(\displaystyle{ \frac{11k-1}{2}}\) ma w mianowniku \(\displaystyle{ 2}\), to licznik też musi być krotności \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ 11k-1}\) jest parzyste,czyli wielokrotności \(\displaystyle{ 2}\), tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ k}\)jest nieparzyste, co zapisuje jako \(\displaystyle{ k=2p+1}\) i po podstawieniu do naszego ułamka, wychodzi, że \(\displaystyle{ n=11p+5}\).
Przykładowe kolejne liczby, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), to: \(\displaystyle{ 5,6}\); \(\displaystyle{ 16,17}\); \(\displaystyle{ 27,28}\).

[AndrzejK]

W 1) nie musisz nic udowadniać, jeśli dobrze przepisałeś polecenie. Jak uda Ci się znaleźć liczby spełniające warunki zadania, to znaczy że takie istnieją i zadanie jest rozwiązane poprawnie.

[matfiz12]

Sory Jo-anna ale źle to zrobiłaś... to mają być sumy cyfr każdej z liczb podzilene przez 11..
Czyli np. 2899999 i 2900000. A co do drugiego postu...to spoko rozumiem, że nie muszę udowadniać, ale chce wiedzieć jak...

[Mihalke]

czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p

[AndrzejK]

czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p

Oczywiście podzielna przez 21 nie jest, ale dająca jakąś resztę w dzieleniu przez 21 już tak.


Moje rozwiązanie:
Przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z następującego faktu:

Jeśli suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\), to aby suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n+1}\) dzieliła się przez \(\displaystyle{ 11}\), to różnica sum cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) musi też dzielić się przez \(\displaystyle{ 11}\).

Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) Ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ n}\) jest różna od \(\displaystyle{ 9}\). Wówczas cyfra jedności liczby \(\displaystyle{ n+1}\) będzie o \(\displaystyle{ 1}\) większa, a więc różnica wyniesie \(\displaystyle{ 1}\), powstanie więc liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
2) Z sprzeczności uzyskanej w punkcie 1) wiemy, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być cyfra \(\displaystyle{ 9}\). Spójrzmy jednak szerzej - jeżeli \(\displaystyle{ k}\) ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) stanowić będą \(\displaystyle{ 9}\) a przed tymi dziewiątkami będzie cyfra różna od \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ k}\) ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ n+1}\) będzie równych \(\displaystyle{ 0}\), a cyfra poprzedzająca \(\displaystyle{ k}\)-tą dziewiątkę liczby \(\displaystyle{ n}\) wzrośnie o \(\displaystyle{ 1}\).
Oznacza to, że jeśli do \(\displaystyle{ n}\) dodamy \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ k}\) cyfr zmaleje o \(\displaystyle{ 9}\) (a więc ich suma zmaleje o \(\displaystyle{ 9k}\)), a jedna cyfra wzrośnie o \(\displaystyle{ 1}\) i pozostałe cyfry się nie zmienią. Zatem różnica sum cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) wynosi \(\displaystyle{ 9k-1}\). Różnica ta musi jednak być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), zatem \(\displaystyle{ 9k-1=11l}\) (gdzie \(\displaystyle{ l \in N}\)). Wtedy \(\displaystyle{ 9k=11l+1}\). Nietrudno zauważyć, że aby równość zachodziła najmniejszą wartością, jaką musi przyjąć l jest \(\displaystyle{ 4}\). Stąd \(\displaystyle{ k=5}\), a więc 5 ostatnich cyfr tej liczba to dziewiątki. Suma 5 ostatnich dziewiątek to \(\displaystyle{ 45}\), najbliższą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 11}\) jest \(\displaystyle{ 55}\), należy więc dobrać tak liczby, aby suma cyfr "z przodu" wyniosła \(\displaystyle{ 10}\). Z kolei w liczbie o \(\displaystyle{ 1}\) większej, suma 5 ostatnich cyfr jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Analogicznie więc suma cyfr "z przodu" musi wynieść \(\displaystyle{ 11}\). Innymi słowy musimy przedstawić cyfry z przodu tak, aby ich suma wyniosła \(\displaystyle{ 10}\) w przypadku 1 liczby oraz \(\displaystyle{ 11}\) w przypadku 2 liczby. Są to na przykład liczby \(\displaystyle{ 28, 29}\), a ogólniej: liczby \(\displaystyle{ (x,x+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ 10|x \wedge 11|x+1}\).

-- 13 lis 2013, o 20:26 --

2. Ogólnie, liczba \(\displaystyle{ x}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 21}\) może dawać takie reszty \(\displaystyle{ o}\), gdzie \(\displaystyle{ o \in \left\{0,1,2,3,...,19,20\right\}}\). Z treści zadania wynika jednak, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest pierwsza i reszty to liczby złożone, nasz zbiór ogranicza się więc do \(\displaystyle{ p \in \left\{2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18\right\}}\). Wówczas musimy znaleźć liczby pierwsze \(\displaystyle{ x}\), które przyjmują postać kolejno:
\(\displaystyle{ 21n+2 \\
21n+4 \\
21n+6 \\
21n+8 \\
21n+9 \\
21n+10 \\
21n+12 \\
21n+14 \\
21n+15 \\
21n+16 \\
21n+18 \\}\)
Teraz należy "postarać się" wyłączyć jakąś liczbę przed nawias aby jeszcze pomniejszyć ten zbiór, oczywiście udaje się to:
\(\displaystyle{ 21n+6 =3(7n+2)\\
21n+9 = 3(7n+3) \\
21n+12 = 3(7n+4) \\
21n+14 =7(3n+2)\\
21n+15 = 3(7n+5)\\
21n+18 = 3(7n+6)\\}\)
Nasz zbiór ograniczył się więc do następujących liczb: \(\displaystyle{ r \in \left\{2,4,8,10,16\right\}}\), a więc takich reszt jest \(\displaystyle{ 5}\).-- 14 lis 2013, o 21:57 --

czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p

Oczywiście podzielna przez 21 nie jest, ale dająca jakąś resztę w dzieleniu przez 21 już tak.


Moje rozwiązanie:
Przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z następującego faktu:

Jeśli suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\), to aby suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n+1}\) dzieliła się przez \(\displaystyle{ 11}\), to różnica sum cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) musi też dzielić się przez \(\displaystyle{ 11}\).

Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) Ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ n}\) jest różna od \(\displaystyle{ 9}\). Wówczas cyfra jedności liczby \(\displaystyle{ n+1}\) będzie o \(\displaystyle{ 1}\) większa, a więc różnica wyniesie \(\displaystyle{ 1}\), powstanie więc liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
2) Z sprzeczności uzyskanej w punkcie 1) wiemy, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być cyfra \(\displaystyle{ 9}\). Spójrzmy jednak szerzej - jeżeli \(\displaystyle{ k}\) ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) stanowić będą \(\displaystyle{ 9}\) a przed tymi dziewiątkami będzie cyfra różna od \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ k}\) ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ n+1}\) będzie równych \(\displaystyle{ 0}\), a cyfra poprzedzająca \(\displaystyle{ k}\)-tą dziewiątkę liczby \(\displaystyle{ n}\) wzrośnie o \(\displaystyle{ 1}\).
Oznacza to, że jeśli do \(\displaystyle{ n}\) dodamy \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ k}\) cyfr zmaleje o \(\displaystyle{ 9}\) (a więc ich suma zmaleje o \(\displaystyle{ 9k}\)), a jedna cyfra wzrośnie o \(\displaystyle{ 1}\) i pozostałe cyfry się nie zmienią. Zatem różnica sum cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) wynosi \(\displaystyle{ 9k-1}\). Różnica ta musi jednak być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), zatem \(\displaystyle{ 9k-1=11l}\) (gdzie \(\displaystyle{ l \in N}\)). Wtedy \(\displaystyle{ 9k=11l+1}\). Nietrudno zauważyć, że aby równość zachodziła najmniejszą wartością, jaką musi przyjąć l jest \(\displaystyle{ 4}\). Stąd \(\displaystyle{ k=5}\), a więc 5 ostatnich cyfr tej liczba to dziewiątki. Suma 5 ostatnich dziewiątek to \(\displaystyle{ 45}\), najbliższą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 11}\) jest \(\displaystyle{ 55}\), należy więc dobrać tak liczby, aby suma cyfr "z przodu" wyniosła \(\displaystyle{ 10}\). Z kolei w liczbie o \(\displaystyle{ 1}\) większej, suma 5 ostatnich cyfr jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Analogicznie więc suma cyfr "z przodu" musi wynieść \(\displaystyle{ 11}\). Innymi słowy musimy przedstawić cyfry z przodu tak, aby ich suma wyniosła \(\displaystyle{ 10}\) w przypadku 1 liczby oraz \(\displaystyle{ 11}\) w przypadku 2 liczby. Są to na przykład liczby \(\displaystyle{ 28, 29}\), a ogólniej: liczby \(\displaystyle{ (x,x+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ 10|x \wedge 11|x+1}\).

-- 13 lis 2013, o 20:26 --

2. Ogólnie, liczba \(\displaystyle{ x}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 21}\) może dawać takie reszty \(\displaystyle{ o}\), gdzie \(\displaystyle{ o \in \left\{0,1,2,3,...,19,20\right\}}\). Z treści zadania wynika jednak, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest pierwsza i reszty to liczby złożone, nasz zbiór ogranicza się więc do \(\displaystyle{ p \in \left\{2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\right\}}\). Wówczas musimy znaleźć liczby pierwsze \(\displaystyle{ x}\), które przyjmują postać kolejno:
\(\displaystyle{ 21n+2 \\
21n+4 \\
21n+6 \\
21n+8 \\
21n+9 \\
21n+10 \\
21n+12 \\
21n+14 \\
21n+15 \\
21n+16 \\
21n+18 \\
21n+20 \\}\)
Teraz należy "postarać się" wyłączyć jakąś liczbę przed nawias aby jeszcze pomniejszyć ten zbiór, oczywiście udaje się to:
\(\displaystyle{ 21n+6 =3(7n+2)\\
21n+9 = 3(7n+3) \\
21n+12 = 3(7n+4) \\
21n+14 =7(3n+2)\\
21n+15 = 3(7n+5)\\
21n+18 = 3(7n+6)\\}\)
Nasz zbiór ograniczył się więc do następujących liczb: \(\displaystyle{ r \in \left\{2,4,8,10,16,20 \right\}}\), a więc takich reszt jest \(\displaystyle{ 6}\).