ekstrema funkcji wielu zmiennych

[gosieniac]

Mam oto taki przykład

\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{2}+y^{2}-2x-2y+4 \sqrt{xy} +8}\)

Policzyłam pochodne pierwszego rzędu

po x ->\(\displaystyle{ 2x-2+4 \frac{y}{2 \sqrt{xy} }=2x-2+ \frac{2y}{ \sqrt{xy} }}\)
i po y -> \(\displaystyle{ 2y-2+4 \frac{x}{2 \sqrt{xy} }=2y-2+ \frac{2x}{ \sqrt{xy} }}\)
przyrównuje do 0 i teraz mam problem z tymi punktami. Po rozwiazaniu układu równań wychodzi mi
\(\displaystyle{ A(0,0) B(\(\displaystyle{ \sqrt{2},- \sqrt{2}}\) C (\(\displaystyle{ -\sqrt{2}, \sqrt{2})}\)
W odpowiedziach jednak jest ekstremum w A(2,2)

Czy mógłby ktoś zerknąć czy dobrze rozwiązałam układ równań, bo chyba się gdzieś pomyliłam, proszę też o zamieszczenie tego rozwiązania ukłądu:)}\)

[miodzio1988]

Pokaż jak rozwiązujesz ten uklad to pokażemy gdzie (i czy ) się mylisz.

[Zordon]

rozwiązaniem tego układu nie jest punkt (2,2) wystarczy wstawić i sprawdzić, podobnie (0,0).-- 3 września 2009, 11:48 --podobie reszta, bo x i y musza być tego samego znaku

[gosieniac]

już pisze ten układ, a czy ta pochodna jest dobrze?-- 3 września 2009, 11:52 --już pisze ten układ, a czy ta pochodna jest dobrze?

[Zordon]

czy w tym przykładzie nie powinno byc \(\displaystyle{ -4\sqrt{xy}}\)? Bo wtedy odpowiedź (2,2) się zgadza.

Jeśli powinno być tak jak jest, to przykład jest nieco trudniejszy, bo nie można zakończyć analizą pochodnych.

[gosieniac]

nie, na 100% jest +\(\displaystyle{ 4 \sqrt{xy}}\)

Widać pomylili się w ksiazce, ten układ rzeczywiście miałam źle znalazłam już błędy :/
Czyli możliwe jest ze ten przykład z "+" może nie mieć punktów stacjonarnych ?

Zaraz rozwiąże sobie z \(\displaystyle{ -4 \sqrt{xy}}\)

[Zordon]

nie, na 100% jest +\(\displaystyle{ 4 \sqrt{xy}}\)

Widać pomylili się w ksiazce, ten układ rzeczywiście miałam źle znalazłam już błędy :/
Czyli możliwe jest ze ten przykład z "+" może nie mieć punktów stacjonarnych ?

tak, ale pochodna nie jest określona dla punktów \(\displaystyle{ (0,y)}\) i \(\displaystyle{ (x,0)}\) i z tego co widze to tam w niektórych miejscach siedzą minima.