Wyznacz, jeśli istnieje, granicę funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \left( \frac{3 ^{ \frac{1}{x ^{2} } } +4 ^{ \frac{1}{x ^{2} } } } {2} \right) ^{x ^{2} }}\)
Poproszę o wskazówki.
Wyznacz, jeśli istnieje, granicę funkcji.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
Wyznacz, jeśli istnieje, granicę funkcji.
Nie jest to konieczne, ale dla mniejszej ilości pisania podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}=t}\), wtedy nasza granica to:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}e^{\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{1}{t}\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right) }}\)
Wystarczy zatem obliczyć granicę wykładnika, a to robi się prosto z reguły de l'Hospitala.
Można też bez tej reguły, jeśli jest taka potrzeba.
Q.
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}e^{\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{1}{t}\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right) }}\)
Wystarczy zatem obliczyć granicę wykładnika, a to robi się prosto z reguły de l'Hospitala.
Można też bez tej reguły, jeśli jest taka potrzeba.
Q.