czy jest grupą?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 17:59

Czy zbiór macierzy o wyznaczniku równym \(\displaystyle{ 1}\) jest półgrupą, monoidem, grupą ? Łatwo pokazać, że nawet jak dodam dwie macierze o wyznacznikach równych jeden to w wyniku niekoniecznie otrzymamy macierz o wyznaczniku równym jeden. Czy to znaczy, że dany zbiór nawet nie jest półgrupą ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 lis 2013, o 18:01

A jakie rozważasz działanie w grupie macierzy? Naturalnym działaniem jest składanie, natomiast wspominasz o dodawaniu.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 18:03

yorgin, zapomnialem o tym wspomnieć. Mówię o dodawaniu macierzy.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 lis 2013, o 18:06

Ok, upewniłem się.

leszczu450 pisze:Czy to znaczy, że dany zbiór nawet nie jest półgrupą ?

Działanie wychodzi poza zbiór, więc mamy bardzo, ale to bardzo kiepskie działanie. Ten zbiór nie ma żadnej sensownej struktury. Działanie nie jest wewnętrzne i jestem niemal pewien, że nawet łączne nie jest.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 18:08

yorgin, czyli w takim wypadku, zbiór nie jest ani półgrupa, ani monoidem ani grupą. Tak?

Takie mam zadanie, nic źle nie przepisałem : )-- 8 lis 2013, o 19:09 --yorgin, ups zapomniałem jeszcze dodać, że sa to macierze kwadratowe stopnia \(\displaystyle{ n}\) ze współczynikami z ciała \(\displaystyle{ K}\). Ale to chyba nic nie zmienia.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 lis 2013, o 18:21

leszczu450 pisze:yorgin, czyli w takim wypadku, zbiór nie jest ani półgrupa, ani monoidem ani grupą. Tak?

Podstawą do któregokolwiek z tych pojęć jest wewnętrzność działania. Jego brak oznacza...

leszczu450 pisze: yorgin, ups zapomniałem jeszcze dodać, że sa to macierze kwadratowe stopnia \(\displaystyle{ n}\) ze współczynikami z ciała \(\displaystyle{ K}\). Ale to chyba nic nie zmienia.

Kwadratowe to wiadomo, inaczej wyznacznika nie policzysz. Co do ciała - zastanówmy się. Niezależnie od ciała jeżeli weźmiemy dwie macierze identycznościowe i policzymy wyznacznik ich sumy, to dostaniemy \(\displaystyle{ 2^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest wymiarem macierzy.

Dalej luźna "gadka".Jeżeli teraz ciało jest charakterystkyki \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ n=2}\), to \(\displaystyle{ 2^2\equiv 1\mod 3}\). Co więcej \(\displaystyle{ \det(2Id)\equiv 1\mod 3}\) i tylko \(\displaystyle{ Id}\) oraz \(\displaystyle{ 2Id}\) mają wyznaczniki równe \(\displaystyle{ 1}\), ale \(\displaystyle{ \det(Id+2Id)\equiv 0\mod 3}\) więc znów wypadamy poza zbiór.

Być może dla jakiegoś wymiaru \(\displaystyle{ n}\) i charakterystki \(\displaystyle{ p}\) by wyszło, ale w ogólnym wypadku, dla porządnych ciał, nie chce działać. Niemniej ja nie wiem i raczej nie podejmę się poszukiwań \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ p}\).

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 18:26

yorgin, a co jeśli działaniem będzie mnożenie? Wtedy mamy łączność. \(\displaystyle{ \det(A) \det(B) = \det(AB)}\). Mamy element wyróżniony działania- macierz jednostkowa. Teraz jeszcze trzeci warunek. Czy dla każdej macierzy o wyznaczniku jeden istnieje taka macierz, że ich iloczyn da nam macierz jednostkową. Tego trzeciego warunku właśnie nie jestem w stanie sprawdzić.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 8 lis 2013, o 18:27

Macierz odwrotna do danej spełnia ten warunek.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 18:48

Dzięki za pomoc : ) A co będzie jeśli zbiorem będzie teraz zbiór wsyzstkich macierzy ? Jeśli jako działanie damy dodawanie to będzie to grupa. A co jeśli będzie to mnożenie?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 lis 2013, o 19:16

Jeżeli rozważasz wszystkie macierze, to grupy nie dostaniesz. Dopiero po usunięciu macierzy osobliwych wyjdzie struktura grupy. Podobnie jest chociażby dla liczb rzeczywistych - musisz zero usunąć, by dostać grupę ze względu na mnożenie.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 8 lis 2013, o 19:17

yorgin, tak też myślałem : ) Dzięki wielkie!