Czy jest relacją równoważności?

[tukanik]

Sprawdź, czy podana relacja jest relacją równoważności

\(\displaystyle{ R \subseteq (\mathbb{R}[t] - \{0\} )^2, xRy}\) jest stopnia parzystego
Nie rozumiem co oznacza to \(\displaystyle{ t}\) w nawiasach kwadratowych ani o co chodzi ze stopniem.

[Jan Kraszewski]

Podałeś tylko połowę definicji, nic zatem dziwnego, że nie zrozumiałeś.

\(\displaystyle{ \RR[t]}\) to zbiór wielomianów jednej zmiennej \(\displaystyle{ t}\) o współczynnikach rzeczywistych. A definicja relacji jest zapewne jakaś taka:

\(\displaystyle{ xRy\iff x-y\mbox{ jest stopnia parzystego}.}\)

JK

[yorgin]

Sprawdź, czy podana relacja jest relacją równoważności

\(\displaystyle{ (R \subseteq \mathbb{R}[t] - \{0\} )^2, xRy}\) jest stopnia parzystego
Nie rozumiem co oznacza to t w nawiasach kwadratowych ani o co chodzi ze stopniem.

\(\displaystyle{ \RR[t]}\) to przestrzeń wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Stopień to po prostu stopień wielomianu. A dalej - brakuje definicji relacji.

[tukanik]

tak, zapomniałem o czymś:
\(\displaystyle{ xRy\iff x\cdot y\mbox{ jest stopnia parzystego}.}\)
Nie rozumiem tego nadal

[Jan Kraszewski]

Czego nie rozumiesz? \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to wielomiany zmiennej \(\displaystyle{ t}\). \(\displaystyle{ x\cdot y}\) to iloczyn wielomianów.

JK

[void_t]

A wiesz co to jest stopień wielomianu? I co musi być spełnione by relacja była relacją równoważności?

[tukanik]

Czego nie rozumiesz? \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to wielomiany zmiennej t. \(\displaystyle{ x\cdot y}\) to iloczyn wielomianów.

Weźmy np. zwrotność.
I nie wiem czy jest zwrotne czy nie.
Wiadomo, że wystarczy, że \(\displaystyle{ x}\) bądź \(\displaystyle{ y}\) będzie parzystego stopnia.
W zwrotności musi zachodzić \(\displaystyle{ xRx}\).
No to jasnym jest, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest stopnia parzystego to zachodzi.
Ale nie potrafię odpowiedzieć, czy jest zwrotna, bo nie do końca widocznie rozumiem definicję. Zatem, czy relacja musi być zwrotna dla wszystkich elementów ze zbioru \(\displaystyle{ R}\)?

[Jan Kraszewski]

Ale nie potrafię odpowiedzieć, czy jest zwrotna, bo nie do końca widocznie rozumiem definicję. Zatem, czy relacja musi być zwrotna dla wszystkich elementów ze zbioru \(\displaystyle{ R}\)?

Jakiego zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)? Przecież rozważasz niezerowe wielomiany jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych!

W tym zadaniu przydaje się wiedza, że stopień iloczynu wielomianów niezerowych to suma stopni składników iloczynu (wiesz, dlaczego tak jest?).

JK

[tukanik]

wynika to z prawa działań na potęgach.

Jakiego zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)? Przecież rozważasz niezerowe wielomiany jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych!

Ok, w tym przypadku rzeczywiście, ale w ogólnym ujęciu, bo mam ciągle wątpliwości.

[Jan Kraszewski]

ale w ogólnym ujęciu, bo mam ciągle wątpliwości.

Jakie konkretnie?

JK

[tukanik]

No takie, że jak pokazujemy zwrotność, czy ona musi zachodzić dla każdego elementu ze zbioru naszej relacji?
Jestem słaby, ale robię postępy

[Jan Kraszewski]

No tak. Przecież to nie jest problem. Mamy \(\displaystyle{ xRx}\) dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ x}\), bo stopień wielomianu \(\displaystyle{ x^2}\) to dwukrotność stopnia wielomianu \(\displaystyle{ x}\).

JK

[tukanik]

symetryczność też jest, bo mnożenie przemienne.
Przechodniość nie zawsze zachodzi, obalone

[Jan Kraszewski]

A jaki masz kontrprzykład?

JK

[tukanik]

\(\displaystyle{ x R y}\), \(\displaystyle{ y R z}\), powinno wynikać, że\(\displaystyle{ x R z}\), a nie wynika, bo:

Dla \(\displaystyle{ x}\) nieparzystego, \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) parzystego wszystko się sypie.