pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Wykazać, że jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ p}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczba niewymierna.
Jak zabrać się za to zadanie?
Jak zabrać się za to zadanie?
Ostatnio zmieniony 29 paź 2013, o 20:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Przypuszę, że jeśli p nie jest kwadratem liczby naturalnej \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą wymierną.Ponewor pisze:Dowód nie wprost.
a więc \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) mogę zapisać w postaci frac{a}{b}, gdzie
należą do zbioru liczb całkowitych i\(\displaystyle{ b}\) nie może być \(\displaystyle{ 0}\).a, b
Tylko w takim przypadku chyba idę w złym kierunku?
\(\displaystyle{ \sqrt{p} = \frac{a}{b}
\sqrt{p} b = a
p b ^{2} = a ^{2}}\)
Zgubiłem się
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Nie rozumiem :C. Można wytłumaczyć jak to zrobić bardzo prostym językiem, bo naprawdę sporo się głowię, ale nic mi z tego nie wychodzi.Ponewor pisze:Popatrz na dzielniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
W dowodzie na niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wykorzystuje się parzystość liczb(znam tylko taki dowód). Tutaj nie widzę tej parzystości.gogo_2 pisze:Zobacz sobie jak się dowodzi niewymierność np \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i postępuj podobnie
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Weź jakieś rozkłady liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Co możemy powiedzieć o dzielnikach pierwszych \(\displaystyle{ b}\) i co wiemy o wykładnikach z jakimi występują?
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Inny dowód można przeprowadzić w oparciu o twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Załóżmy tezę i zauważmy, że wtedy teza zachodzi.Enigmus pisze:Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.
pierwiastek z liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej
Nie sądzę.Vax pisze:Załóżmy tezę i zauważmy, że wtedy teza zachodzi.Enigmus pisze:Ja natomiast bym to udowodnił opierając się prostym twierdzeniu:
Jeśli przy naturalnym dodatnim \(\displaystyle{ m}\), liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ m}\)-tą potęga liczby wymiernej, to jest też \(\displaystyle{ m}\)-tą potęgą liczby naturalnej.
Gdyż mamy, że \(\displaystyle{ p}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, a stosując twierdzenie wnioskujemy, że nie jest też wymiernej w ogóle, przez co pierwiastek kwadratowy z tej liczby nie może być wymierny, czyli jest niewymierny. QED
A nawet jeśli popełniam błąd jaki napisałeś, to stwierdzam wtedy równoważność tych zdań, a nie widzę trudności w udowodnieniu tego twierdzenia w dowodzie zadania i kończącego go.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2013, o 22:06 przez Enigmus, łącznie zmieniany 1 raz.