Izomorfizm - definicja

[Lewo]

\(\displaystyle{ (G,*) , (T,\#)}\)
homomorfizm to funkcja \(\displaystyle{ h:G \rightarrow T}\)
jeśli \(\displaystyle{ g_{1}, g_{2} \in G}\) i \(\displaystyle{ h(g_{1}*g_{2}) = h(g_{1})\# h(g_{2})}\)

czyli jak dobrze zrozumiałem \(\displaystyle{ h}\) to jakaś operacja ( np działanie typu reszta dzielenia \(\displaystyle{ g_{x}}\) przez \(\displaystyle{ 10}\) )
więc homomorfizm korzysta z zależności \(\displaystyle{ h(g_{1}*g_{2}) = h(g_{1}) ^ {h(g_{2})}}\) i dzięki niej każde działanie ze zbioru \(\displaystyle{ G}\) można zapisać przy użyciu działania zbioru \(\displaystyle{ T}\) ale zachowując elementy z \(\displaystyle{ G}\)?

lub mógłby ktoś wytłumaczyć łopatologicznie po co jest homomorfizm i co jest zbiorem wartości homomorfizmu a co dziedziną abym mógł zrozumieć izomorfizm?
Nie rozumiem tego że homomorfizm może być różnowartościowy, czyli że co?
jakieś dwa działania ze struktury \(\displaystyle{ G}\) \(\displaystyle{ h(g_{1}*g_{2})}\) i \(\displaystyle{ h(g_{1}+g_{2})}\) nie mogą dać jednego działania ( z drugiej struktury ) w postaci \(\displaystyle{ h(g_{1}) \# h(g_{2})}\) ??

[yorgin]

Powyższy tekst ciężko zrozumieć...

Ukryta treść:    

Bełkot z całą masą błędów językowych, interpunkcyjnych czy też gramatycznych.

Homomorfizm to odwzorowanie między dwiema grupami zachowujące działania grupowe. Obrazem elementu \(\displaystyle{ g_1*g_2}\) przez homomorfizm \(\displaystyle{ h}\) jest działanie obrazów tych elementów względem działania \(\displaystyle{ \#}\), czyli \(\displaystyle{ h(g_1)\# h(g_2)}\).

O dziedzinie i przeciwdziedzinie homomorfizmu - a wiesz co to jest dla funkcji? Bo homomorfizm to też funkcja...

Homomorfizm o dziwo może być różnowartościowy i znaczy to tyle, co sama nazwa wskazuje.

[Lewo]

ok uproszczę:
- co mówi nam homomorfizm? zależność między działaniami? po co mi w ogóle określać że coś ma homomorfizm, do czego mogę to wykorzystać? ( bo np. funkcja liniowa np. podaje mi wartość działania dla danego x ,a tutaj? )
- co jest wartością funkcji homomorfizmu a co argumentami ( skoro różnowartościowy czyli, że dla różnych działań w jednej strukturze przyporządkowuje ( odwzoruje ) działania na drugiej strukturze ? )
Mi to wygląda tak jakby wartością była dalej funkcja bo z \(\displaystyle{ h(g_{1} * g _{2})}\) ODWZOROWUJE \(\displaystyle{ h(g_{1})}\) #\(\displaystyle{ h(g_{2})}\).
- po co nam w ogóle druga struktura, skoro z tej drugiej struktury bierzemy tylko jego działania, natomiast elementy i tak nie grają roli


w skrócie funkcja wg. mnie przekształca coś , bierze x i podnosi do kwadratu i dodaje 5. tu jest jakaś równość i czemu to jest funkcja a nie zwykła równość dla jakiegoś działania h.

[yorgin]

ok uproszczę:
- co mówi nam homomorfizm? zależność między działaniami? po co mi w ogóle określać że coś ma homomorfizm, do czego mogę to wykorzystać? ( bo np. funkcja liniowa np. podaje mi wartość działania dla danego x ,a tutaj? )

Homomorfizm mówi nam, jak struktura jednej grupy jest przenoszona w strukturę drugiej grupy w mniej lub bardziej porządny sposób. W szczególności określa, jak działania na elementach jednej grupy przechodzą na działania na elementach w drugiej grupie.

I doprawdy, przykład wykorzystania funkcji liniowej jest chybiony.

- co jest wartością funkcji homomorfizmu a co argumentami ( skoro różnowartościowy czyli, że dla różnych działań w jednej strukturze przyporządkowuje ( odwzoruje ) działania na drugiej strukturze ? )
Mi to wygląda tak jakby wartością była dalej funkcja bo z \(\displaystyle{ h(g_{1} * g _{2})}\) ODWZOROWUJE \(\displaystyle{ h(g_{1})}\) #\(\displaystyle{ h(g_{2})}\).

Przeczytaj sobie definicję homomorfizmu raz jeszcze. Powyższy tekst świadczy o tym, że nie do końca ją znasz. Wartości to elementy jednej grupy, argumenty to elementy drugiej grupy.

- po co nam w ogóle druga struktura, skoro z tej drugiej struktury bierzemy tylko jego działania, natomiast elementy i tak nie grają roli

Podaj mi w takim razie homomorfizm grupy liczb całkowitych z dodawaniem w zbiór pomarańczy (nie ma w nim struktury). Przeczysz tym zdaniem całkowicie sensowi homomorfizmów.

w skrócie funkcja wg. mnie przekształca coś , bierze x i podnosi do kwadratu i dodaje 5. tu jest jakaś równość i czemu to jest funkcja a nie zwykła równość dla jakiegoś działania h.

Yy co?

[Lewo]

Niech \(\displaystyle{ \left( G \cdot \right)}\) , \(\displaystyle{ \left( H * \right)}\) będą grupami.
Przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\) nazywamy homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę \(\displaystyle{ H}\), gdy dla wszelkich \(\displaystyle{ x, y \in G}\) spełnione jest równanie:
\(\displaystyle{ \varphi \left( x \cdot y \right) = \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right)}\)

Moja analiza ^^
1. \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\)
to mi mówi że dziedziną jest struktura \(\displaystyle{ G}\) więc elementy z tej dziedziny to jakieś np. dwie liczby. Przeciwdziedziną są elementy zbioru \(\displaystyle{ H}\).
2. \(\displaystyle{ \varphi \left( x \cdot y \right) = \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right)}\)
to mi nie mówi co \(\displaystyle{ \varphi}\) robi z liczbą , tylko jakie własności posiada ta funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) , czyli magiczna zależność
4. czy wykorzystując magiczną zależność stwierdzam, że przeciwdziedzina funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) działającej na elementach \(\displaystyle{ x, y}\) to
\(\displaystyle{ \varphi \left( x \right)}\) i \(\displaystyle{ \varphi \left( y \right) \in H}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x, y \in G}\) i powiedzmy \(\displaystyle{ a, b \in H}\)
to w wyniku działania \(\displaystyle{ \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right) = a * b}\)

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ \left( G \cdot \right)}\) , \(\displaystyle{ \left( H * \right)}\) będą grupami.
Przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\) nazywamy homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę \(\displaystyle{ H}\), gdy dla wszelkich \(\displaystyle{ x, y \in G}\) spełnione jest równanie:
\(\displaystyle{ \varphi \left( x \cdot y \right) = \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right)}\)

Ok.

1. \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\)
to mi mówi że dziedziną jest struktura \(\displaystyle{ G}\) więc elementy z tej dziedziny to jakieś np. dwie liczby. Przeciwdziedziną są elementy zbioru \(\displaystyle{ H}\).

Dziedzina to \(\displaystyle{ G}\), przeciwdziedzina to \(\displaystyle{ H}\).

2. \(\displaystyle{ \varphi \left( x \cdot y \right) = \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right)}\)
to mi nie mówi co \(\displaystyle{ \varphi}\) robi z liczbą , tylko jakie własności posiada ta funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) , czyli magiczna zależność

Zgadza się. To, co \(\displaystyle{ \varphi}\) robi z liczbami (lub innymi obiektami \(\displaystyle{ G}\)) jest wpisane w jej definicję.

4. czy wykorzystując magiczną zależność stwierdzam, że przeciwdziedzina funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) działającej na elementach \(\displaystyle{ x, y}\) to
\(\displaystyle{ \varphi \left( x \right)}\) i \(\displaystyle{ \varphi \left( y \right) \in H}\)

To jest bez sensu.

czyli:
\(\displaystyle{ x, y \in G}\) i powiedzmy \(\displaystyle{ a, b \in H}\)
to w wyniku działania \(\displaystyle{ \varphi \left( x \right) * \varphi \left( y \right) = a * b}\)

\(\displaystyle{ a, b}\) są jakie? Jaki mają związek z \(\displaystyle{ x, y}\) ? Próbujesz chyba być za bardzo dokładnym w tym miejscu.

[Lewo]

chyba przekombinowałem z 4. za bardzo chciałem zależność wykorzystać

trzymając się wcześniejszych oznaczeń
homomorfizm bierze sobie jedną liczbę x ( argument z dziedziny \(\displaystyle{ G}\) ) zmienia ją wg. własnej definicji i wychodzi element taki: \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) który jako wartość homomorfizmu ( zgodnie z \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\) ) należy do zbioru \(\displaystyle{ H}\)

A to że przy okazji jest ta magiczna zależność, przydaje się do zadań że składaniem różnych homomorfizmów lub sprawdzaniem czy jakaś funkcja na dwóch strukturach jest homomorfizmem?

To że homomorfizm jest różnowartościowy oznacza że dla
\(\displaystyle{ x \neq y \Rightarrow \varphi(x) \neq \varphi(y)}\)

Mam nadzieje, że w końcu zrozumiałem ^^.

- a mam pytanko, jak jakby dla \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) wychodziły dwa wyniki to jest to możliwe? np. homomorfizm to wynik pierwiastkowania kwadratowego liczb naturalnych ) bo z tego co wiem funkcja dla jednego argumentu przyjmuje dokładnie jedną wartość

[void_t]

Funkcja musi być dobrze zdefiniowana, nie ma możliwości, żeby \(\displaystyle{ \phi(x) = a}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ \phi(x) = b}\) i \(\displaystyle{ a \neq b}\), bo to już funkcja nie jest.

[Lewo]

ok a cała reszta mojego ostatniego postu jest prawidłowa?:D

[yorgin]

A to że przy okazji jest ta magiczna zależność, przydaje się do zadań że składaniem różnych homomorfizmów lub sprawdzaniem czy jakaś funkcja na dwóch strukturach jest homomorfizmem?

Ta magiczna zależność (zachowanie działań) jest nierozłącznym elementem homomorfizmu. Więc albo \(\displaystyle{ h}\) jest homomorfizmem i spełnia wzór (co jest definicją bycia homomorfizmem), albo wzoru nie spełnia i nie jest homomorfizmem.

[Lewo]

to wiem, że to warunek konieczny żeby funkcja była homomorfizmem, chodzi mi do czego w praktyce tą zależność się używa. ale to już nie jest aż takie ważne dla mnie, jeśli cała reszta ostatniego rozumowania jest ok, to dzięki wielkie za pomoc.

[yorgin]

chodzi mi do czego w praktyce tą zależność się używa.

Jeżeli masz dwie izomorficzne struktury, to wystarczy pokazać pewne własności dla jednej by druga automatycznie je spełniała. Dla przykładu każda grupa rzędu \(\displaystyle{ 11}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) więc wystarczy wykazać coś dla \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) by mieć to dla wszystkich grup rzędu \(\displaystyle{ 11}\).