Cześć !
Twierdzenie z tematu jest dosyć łatwe w dowodzenie i nie zaskakuje. Jednak po co ono w ogóle jest? Do czego może służyć określenie zwartego obrazu?
Z góry dziękuję!
ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym
To twierdzenie ma wiele zastosowań, na przykład do pokazywania zwartości. Przykładowe zastosowanie:
Załózmy, że \(\displaystyle{ (K,\tau)}\) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz na \(\displaystyle{ K}\) istnieje topologia zwarta Hausdorffa \(\displaystyle{ \sigma}\) słabsza (niemocniejsza) od \(\displaystyle{ \tau}\), tzn. \(\displaystyle{ \sigma\subseteq \tau}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). Istotnie, identyczność
\(\displaystyle{ \mbox{id}\colon (K, \tau) \to (K,\sigma)}\)
jest ciągła oraz oczywiście na, więc każdy zbiór domknięty \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\) jest zwarty, jako podzbiór \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\). Wynika stąd, że gdy \(\displaystyle{ A\subset K}\) jest \(\displaystyle{ \tau}\)-domknięty to jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-domknięty, bo zwarte podzbiory przestrzeni zwartej Hausdorffa, są domknięte. Oznacza to, że jeżeli \(\displaystyle{ U\in \tau}\), to \(\displaystyle{ K\setminus U}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ \sigma}\), czyli \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \sigma}\)! Innymi słowy, \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). \(\displaystyle{ \square}\)
W skrócie: zwarte topologie Hausdorffa są elementami minimalnymi w rodzinie wszystkich topologii Hausdorffa na danym zbiorze.
Załózmy, że \(\displaystyle{ (K,\tau)}\) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz na \(\displaystyle{ K}\) istnieje topologia zwarta Hausdorffa \(\displaystyle{ \sigma}\) słabsza (niemocniejsza) od \(\displaystyle{ \tau}\), tzn. \(\displaystyle{ \sigma\subseteq \tau}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). Istotnie, identyczność
\(\displaystyle{ \mbox{id}\colon (K, \tau) \to (K,\sigma)}\)
jest ciągła oraz oczywiście na, więc każdy zbiór domknięty \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\) jest zwarty, jako podzbiór \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\). Wynika stąd, że gdy \(\displaystyle{ A\subset K}\) jest \(\displaystyle{ \tau}\)-domknięty to jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-domknięty, bo zwarte podzbiory przestrzeni zwartej Hausdorffa, są domknięte. Oznacza to, że jeżeli \(\displaystyle{ U\in \tau}\), to \(\displaystyle{ K\setminus U}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ \sigma}\), czyli \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \sigma}\)! Innymi słowy, \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). \(\displaystyle{ \square}\)
W skrócie: zwarte topologie Hausdorffa są elementami minimalnymi w rodzinie wszystkich topologii Hausdorffa na danym zbiorze.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym
Jak już jesteśmy przy przestrzeniach Haussdorfa, to ciągłe bijekcje przestrzeni zwartych w przestrzenie Haussdorfa są homeomorfizmami.
Ukryta treść:
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym
Dziękuję Wam bardzo : ) Co prawda, nie miałem na wykładzie nic o przestrzeniach Hausdorffa ale i tak mniej więcej widze do czego przydaje się twierdzenie o którym wspomniałem. Nie wiem czy mój wykład jest po prostu taki ubogi czy może będe o tym wszystkim miał na topologii na trzecim roku : )