Równanie różniczkowe

[monn933]

Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ z\left( x,y\right)}\) spełnia podane równanie różnicowe:

a) \(\displaystyle{ z\left( x,y\right)= \frac{y}{f\left( x ^{2} -y ^{2} \right) }}\) ; \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \frac{ \partial z}{ \partial x} + \frac{1}{y} \frac{ \partial z}{ \partial y}= \frac{z}{y ^{2} }}\)

b) \(\displaystyle{ z\left( x,y\right) = \sin x + f\left( \sin y - \sin x \right)}\) ; \(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial x} \cos y + \frac{ \partial z}{ \partial y} \cos x= \cos x \cdot \cos y}\)

c) \(\displaystyle{ z\left( x,y\right)= f\left( x + \cos y\right)}\) ;

\(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial x} \frac{ \partial ^{2}z }{ \partial x \partial y} = \frac{ \partial z}{ \partial y} \frac{ \partial ^{2}z }{ \partial y \partial x ^{2} }}\)

Byłabym wdzięczna o szczegółowe wytłumaczenie, bo kompletnie tego nie rozumiem.

[cosinus90]

Potrafisz liczyć pochodne cząstkowe?

[monn933]

Tak, ale zawsze liczyłam coś w tym stylu : \(\displaystyle{ z\left( x,y\right)= ln(x+cosy)}\)
Nie wiem jak mam liczyć coś takiego \(\displaystyle{ f\left( ....\right)}\)

[cosinus90]

Masz funkcję zależną od wyrażenia \(\displaystyle{ \sin y - \sin x}\). Licząc pochodną np. po \(\displaystyle{ x}\), zapisujesz ją jako \(\displaystyle{ f'(\sin y-\sin x)\cdot (\sin y-\sin x)'_{x}}\) i liczysz pochodną nawiasu.