Wykazanie równości szeregu i wzoru jawnego

[RippeR37]

Mam dany szereg wzorem i wiem, że równa się wzorowi jawnemu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot (n-1) +1}\)

Musze teraz udowodnić że lewa strona równa się prawej. Doszedłem do tego, że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n - 2^{n} +1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n - (2^{n} -1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} + (2^{n} -1) = 2^{n} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} + \sum_{k=0}^{n-1}2^{k} = 2^{n} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n}\)

Co jest prawdą (sprawdziłem), ale zaciąłem się i nie wiem jak to dalej rozpisać... Mógłby ktoś nakierować czy coś takiego?

[Dasio11]

Najprościej będzie użyć indukcji, bez żadnego przekształcania.

[RippeR37]

Tak myślałem, jednak liczyłem że da się to sensowniej rozpisać, bo zadanie polegało na wyprowadzeniu wzoru (z tego po lewej na to po prawej), zaś ja dostałem prawą stronę z wolfram'a. Cóż, jakoś będzie musiało przejść

[Qń]

Jeśli chcesz wzór wyprowadzić, to na to też są standardowe metody:
258562.htm
258562.htm

Można też zróżniczkować stronami równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nx^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\)
a potem pomnożyć wynik stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i podstawić \(\displaystyle{ x=2}\).

Q.