Równanie liczb zespolonych.

[mangusta]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z^{2}=i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{i}}\) I co dalej??
Proszę o podpowiedź jak to równanie liczb zespolonych rozwiązać.

[bakala12]

Postać trygonometryczna i wzory na pierwiastki.

[mangusta]

Jeśli dobrze liczę to postać trygonometryczna \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ \sqrt{i}= \left( \cos \left( \frac{ \pi }{2} \right) + i\sin \left( \frac{ \pi }{2} \right) \right)}\). A wzory na pierwiastki jak mam wykorzystać ?

[bakala12]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{\left| z\right| }\left( \cos\left( \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right) + i\sin\left( \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right)\right)}\)

[mangusta]

\(\displaystyle{ \sqrt[]{i}= \sqrt[]{\left| i\right| }\left( \cos\left 45 \right + i\sin\left 45 \right \right)}\)
Dobrze jest? Chyba w miejscu \(\displaystyle{ \sqrt{\left| i\right| }}\) ma być coś innego..., dobrze myśle?

[Gouranga]

zapomniałeś o \(\displaystyle{ 2k\pi}\)
poza tym na tym poziomie matematyki nikt nie używa już mary stopniowej tylko łukowej
a \(\displaystyle{ \sqrt{|i|}}\) to ile jest?

[mangusta]

Czyli modułem \(\displaystyle{ \sqrt{\left| i\right| }}\) jest 1?
A więc: \(\displaystyle{ \sqrt[]{i}= \sqrt[]{\left| i\right| }\left( \cos\left \frac{ \pi }{4} \right + i\sin\left \frac{ \pi }{4} \right \right)}\). Czyli: \(\displaystyle{ \sqrt[]{i}= \left( \cos\left \frac{ \pi }{4} \right + i\sin\left \frac{ \pi }{4} \right \right)}\)
Wyszło mi że postać algebraiczna wygląda tak: \(\displaystyle{ \frac{3 +\sqrt{2} }{2}+ \frac{3 \sqrt{3}+ \sqrt{2} }{2}i}\) Dobrze??

[Gouranga]

jak dla mnie \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[mangusta]

Czyli ostateczny wynik to: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}i}\) i tylko to?

[Gouranga]

nie
cały czas zapominasz o \(\displaystyle{ 2k\pi}\)
masz
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi }{2}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0}\) już policzyłeś, a dla \(\displaystyle{ k=1}\) jeszcze musisz policzyć jaki to kąt i jego sin i cos wziąć
generalnie skoro jest pierwiastek 2 stopnia to będą dokładnie 2 rózne rozwiązania

[mangusta]

Wg moich obliczeń drugi pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} }{2} + \frac{3+ \sqrt{2} }{2}i}\) ?

[Gouranga]

źle
jaki ci wyszedł ten drugi kąt?

[mangusta]

\(\displaystyle{ (90 + 2 * 180)/2,}\) czyli \(\displaystyle{ 450/2}\) daje mi 225 stopni.[/latex]

[Gouranga]

dobrze, a w bardziej ludzkiej postaci
\(\displaystyle{ 225^{\circ} = \frac{5}{4}\pi}\)
teraz jaki jest sin i cos tego kąta?

[HaveYouMetTed]

\(\displaystyle{ z^{2}=i \\
i=1 \left( \cos \left( \frac{ \pi }{2} \right) + i \sin \left( \frac{ \pi }{2} \right) \right) \\
z_{k}= 1 \left( \cos \left( \frac{ \frac{ \pi }{2}+2k \pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{ \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}{2} \right) \right) \ \ , k=0,1 \\
z_{0} = 1 \left( \cos \frac{ \pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{ \sqrt{2}}{2} \left(1+i \right) \\
z_{1} = 1 \left( \cos \left( \frac{ \frac{ \pi }{2}+2 \pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{ \frac{ \pi }{2}+2 \pi}{2} \right) \right) = - \cos \frac{ \pi }{4} - i \sin \frac{ \pi }{4} = - \frac{ \sqrt{2}}{2} \left( 1+i \right)}\)