wykaż podzielność

[nonienonie+]

Wykaż, że dla każdego\(\displaystyle{ n \in N}\) liczba w postaci \(\displaystyle{ n^3+5n}\) jest podzielna przez 6.

[szw1710]

Zbadaj reszty jakie daje \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), to nie ma czego sprawdzać.

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) daj resztę \(\displaystyle{ 1}\), to suma \(\displaystyle{ n^3+5n}\) daje taką resztę jak \(\displaystyle{ 1^3+5\cdot 1=6}\), więc liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), to \(\displaystyle{ n^3+5n}\) daje taką resztę jak \(\displaystyle{ 2^3+5\cdot 2=18}\).

Przeanalizuj pozostałe przypadki.

[duze_jablko2]

\(\displaystyle{ n^{3}+5n = n \left( n^{2} + 5 \right) = n \left( \left( n^{2}-1 \right) + 6 \right) = n \left( n^{2} - 1 \right) +6n = n \left( n-1 \right) \left( n+1 \right) + 6n = \left( n-1 \right) n \left( n+2 \right) + 6n}\)
składnik : \(\displaystyle{ \left( n-1 \right) n \left( n+2 \right)}\) to są trzy kolejne liczby naturalne wiec co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) zatem iloczyn tych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)
składnik : \(\displaystyle{ 6n}\) - wolny składnik, który również jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)

zatem dana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)