Rachunek wariacyjny...

[Tomek_Fizyk-10]

Witam! Mam taki problem:

Połóżmy sobie kartezjański układ współrzędnych (X;Y). W nim obieramy dwa punkty na osi X tj. \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\). Jaka krzywa \(\displaystyle{ f(x)}\) zaczynająca się w \(\displaystyle{ x _{1}}\) a kończąca w \(\displaystyle{ x _{2}}\) zaznaczy na tym układzie największe pole? (pole to ma być zawarte pomiędzy krzywą a osią X).

Dodam kawałek mojego rozumowania:
Pole pod szukaną funkcją, to \(\displaystyle{ P = \int_{x _{1} }^{x _{2} } f(x) \mbox{d}x}\)
Dodatkowo mamy, że \(\displaystyle{ L = \int_{x _{1} }^{x _{2} } \sqrt{1 + f'(x) ^{2} } \mbox{d}x = constant}\)

Łatwo zobaczyć, że \(\displaystyle{ f'(x) = \sqrt{\left( \frac{ \mbox{d}L }{ \mbox{d}x } \right) ^{2} -1 }}\)

A zatem całe zagadnienie można sprowadzić do maksymalizacji funkcjonału
\(\displaystyle{ P = \int_{x _{1} }^{x _{2} } \int_{x _{1} }^{x _{2} } \sqrt{\left( \frac{ \mbox{d}L }{ \mbox{d}x } \right) ^{2} -1 } \mbox{d}x \mbox{d}x}\)

Wie ktoś jak z tego znaleźć \(\displaystyle{ L(x)}\) ?

[luka52]

Już w conajmniej drugim temacie podajesz zły wzór:

\(\displaystyle{ f'(x) = \sqrt{\left( \frac{ \mbox{d}L }{ \mbox{d}x } \right) ^{2} -1 }}\)

Nie, mając tak zadane \(\displaystyle{ L}\), to \(\displaystyle{ f'}\) nie wyliczysz w ten sposób.
Warto może wrócić do podstaw przed zabieranie się za bardziej ambitne obliczenia?

[Tomek_Fizyk-10]

Po drugie, to bez obliczeń można sobie wyobrazić, że bez dodatkowych ograniczeń (np. stała długość krzywej), to pole może być dowolnie duże.

No przecież ja to wszystko uwzględniam.

W takim razie, jak mam to rozwiązać?

[Kartezjusz]

Wiemy,że \(\displaystyle{ L=const}\) czyli ustalamy \(\displaystyle{ L>0}\) i to jest ta ustalona długośc. Czyli całka jest równa constans. Co można więc powiedzieć o funkcji podcałkowej?

[Tomek_Fizyk-10]

Że \(\displaystyle{ P = \int_{x _{1} }^{x _{2} } f(x) \mbox{d}x}\) ma osiągać maksimum. Ale nie wiem, jak te dwa warunki połączyć. Potrzebuję więcej podpowiedzi.

[Kartezjusz]

Na chłopski rozum myślę,że warto unaocznić sonie sznurek rozcięgnięty na punktach \(\displaystyle{ f(x_{1}),f(x_{2})}\), ktorego nie da się rozciągnąć. Co podpowiada w takiej sytuacji intuicja?

[Tomek_Fizyk-10]

Mógłbyś ująć to jakoś inaczej, do czego zmierzasz, bo nie rozumiem.

[luka52]

Ogólnie to należy po prostu znaleźć ekstremum takiego funkcjonału:

\(\displaystyle{ \int_{x_1}^{x_2} \dd x \underbrace{\left( f + \lambda (L - \sqrt{1 + f'^2} ) \right)}_{F}}\)

Czyli zapisujemy równania E-L:

\(\displaystyle{ \pfrac{F}{f} - \partial_x \pfrac{F}{f'} = 0 \; \wedge \; L = \int_{x_1}^{x_2} \dd x \; \sqrt{1 + f'^2}}\)

przy czym pamiętamy, że \(\displaystyle{ f(x_1) = {\rm const}, f(x_2) = {\rm const}, L \ge x_2 - x_1 > 0}\).

Jak to się porządnie policzy, to otrzymamy równanie półokręgu.

[Tomek_Fizyk-10]

Nie wiem dlaczego taki funkcjonał, ale niech będzie. Spróbuję do tego dojść. Dzięki za pomoc.

[luka52]

Bez żadnego warunku o stałej długości łuku, mielibyśmy najprostszy funkcjonał \(\displaystyle{ F \equiv f}\). Reszta, to .