Twierdzenie sinusów na podstawie własności iloczynu wektorow

[arcyk13]

Witam,
proszę o pomoc w udowodnieniu twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ \frac{a}{sin \alpha }= \frac{b}{sin \beta }= \frac{c}{sin \partial }}\) za pomocą własności iloczynu wektorowego. Korzystając z własności iloczynu skalarnego udowodnij tw. cosinusów: \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}-2abcos \partial=c ^{2}}\).
Trójkąt utworzony z wektorów \(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b} \vec{c}}\)

[Kartezjusz]

1.Zastosuj łączność iloczynu wektorowego dla wektorów \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[jarekzulus]

Masz wektor \(\displaystyle{ a, b}\), wektor \(\displaystyle{ c=a-b}\). W ten sposób masz trójkąt
Jesli skorzystasz z własności:
\(\displaystyle{ \left| a\right|^{2}=a \cdot a}\)

dostajesz
\(\displaystyle{ c \cdot c=(a-b) \cdot (a-b)}\)
\(\displaystyle{ c \cdot c=a \cdot a+b \cdot b-2(a \cdot b)}\)
ponownie korzystamy z powyższej własności
\(\displaystyle{ \left| c\right| ^{2}=\left| a\right| ^{2} +\left| b\right| ^{2} - 2(a \cdot b)}\)

teraz inna własność
\(\displaystyle{ a \cdot b = \left| a\right|\left| b\right|\cos{ \alpha }}\)
gdzie alpha to kąt między a i b.

Jak wstawisz to to wychodzi:
\(\displaystyle{ \left| c\right|^2 = \left| a\right|^2 + \left| b\right|^2 - 2\left| a\right| \left| b\right| \cos{ \alpha }}\)