czy podgrupa H grupy GL(n,R) jest normalna?

[Aniusia010791]

G=GL(n,R)
\(\displaystyle{ H=\left\{ A \in G :detA \in \left\{ 2 ^{m} :m \in Z\right\} \right\}}\)

wzór znam \(\displaystyle{ aha ^{-1} \in H}\)

ale nie mam pojecia jak zacząć.

[Spektralny]

Weź dowolną macierz \(\displaystyle{ X\in G}\) oraz \(\displaystyle{ Y\in H}\). Wówczas z twierdzenia Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \det(XYX^{-1}) = \det Y \in \{2^m\colon m\in \mathbb{Z}\}}\)

skąd \(\displaystyle{ XYX^{-1}}\) należy do \(\displaystyle{ H}\), czyli \(\displaystyle{ H}\) jest normalna.

Uogólnienie: Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^*}\). Wówczas

\(\displaystyle{ H_L = \{A\in G\colon \det A\in L\}}\)

jest pogrupą normalną \(\displaystyle{ G}\).