równanie logarytmiczne, błędny wynik
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log^3 x - 3 \log x}=10}\)
wychodzą mi odpowiedzi: \(\displaystyle{ x=10 \vee x=1 \vee x= \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\) z czego z dziedziny wylatuje \(\displaystyle{ x=1}\)
Według odpowiedzi powinno być: \(\displaystyle{ x=10 \vee x= \frac{1}{10}}\)
Mógłby ktoś to zweryfikować?
wychodzą mi odpowiedzi: \(\displaystyle{ x=10 \vee x=1 \vee x= \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\) z czego z dziedziny wylatuje \(\displaystyle{ x=1}\)
Według odpowiedzi powinno być: \(\displaystyle{ x=10 \vee x= \frac{1}{10}}\)
Mógłby ktoś to zweryfikować?
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
Nie wiem dlaczego z dziedziny wypada Ci jedynka.
Logarytmując obustronnie dostaniemy
\(\displaystyle{ (4\log^3x-3\log x)\log x=\log10}\)
\(\displaystyle{ 4\log^4x-3\log^2x-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \log^2x=t}\)
\(\displaystyle{ 4t^2-3t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac14,\quad t_2=1}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy, z drugiego dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2x=1}\)
\(\displaystyle{ \log x=1\vee \log x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=10\vee x=\frac{1}{10}}\)
Logarytmując obustronnie dostaniemy
\(\displaystyle{ (4\log^3x-3\log x)\log x=\log10}\)
\(\displaystyle{ 4\log^4x-3\log^2x-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \log^2x=t}\)
\(\displaystyle{ 4t^2-3t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac14,\quad t_2=1}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy, z drugiego dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2x=1}\)
\(\displaystyle{ \log x=1\vee \log x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=10\vee x=\frac{1}{10}}\)
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
No dobrze, to skoro wiem, że mam źle, to kto chętny znaleźć błąd:
\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10}\)
\(\displaystyle{ D: x \in (0, + \infty ) - \left\{ 1\right\}}\)
\(\displaystyle{ \log x (4\log ^3 x - 3 \log x)= \log 10}\)
\(\displaystyle{ \log x = t}\)
\(\displaystyle{ 4t^4- 3t^2 -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (4t+1)(t-1)t=0}\)
\(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4} \vee t=1 \vee t=0}\)
\(\displaystyle{ \log x = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\)
\(\displaystyle{ \log x =1 \Rightarrow x=10}\)
\(\displaystyle{ \log x = 0 \Rightarrow x=1}\)
A 1 z dziedziny wyrzuciłam z własności: \(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10 \Leftrightarrow \log _{x} 10 = 4 \log ^3 x - 3 \log x}\)
chris_f Twoje rozwiązanie ma sens, ale nadal nie wiem, gdzie robię błąd w moim
\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10}\)
\(\displaystyle{ D: x \in (0, + \infty ) - \left\{ 1\right\}}\)
\(\displaystyle{ \log x (4\log ^3 x - 3 \log x)= \log 10}\)
\(\displaystyle{ \log x = t}\)
\(\displaystyle{ 4t^4- 3t^2 -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (4t+1)(t-1)t=0}\)
\(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4} \vee t=1 \vee t=0}\)
\(\displaystyle{ \log x = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\)
\(\displaystyle{ \log x =1 \Rightarrow x=10}\)
\(\displaystyle{ \log x = 0 \Rightarrow x=1}\)
A 1 z dziedziny wyrzuciłam z własności: \(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10 \Leftrightarrow \log _{x} 10 = 4 \log ^3 x - 3 \log x}\)
chris_f Twoje rozwiązanie ma sens, ale nadal nie wiem, gdzie robię błąd w moim
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 23:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
Już widzę, bardzo dziękuję za pomoc!
EDIT. a jeszcze zapytam, tą \(\displaystyle{ 1}\) wyrzucać z dziedziny też, czy nie?
EDIT. a jeszcze zapytam, tą \(\displaystyle{ 1}\) wyrzucać z dziedziny też, czy nie?
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
Co do tego wyrzucania byłbym przeciwny. Niby dlaczego za \(\displaystyle{ x}\)-a nie można w równaniu podstawić jedynki?
Oczywiście przekonamy się, że nie jest to rozwiązanie, ale rozumując w ten sposób można by z dziedziny wyrzucić np 17, 586 czy coś podobnego.
Dziedzinę równania określamy od razu, bez żadnych przekształceń. Należą do niej wszystkie wartości \(\displaystyle{ x}\), które można wstawić do równania bez przeszkód, a to czy otrzymamy równość prawdziwą, czy nie, to już inna historia.
Oczywiście przekonamy się, że nie jest to rozwiązanie, ale rozumując w ten sposób można by z dziedziny wyrzucić np 17, 586 czy coś podobnego.
Dziedzinę równania określamy od razu, bez żadnych przekształceń. Należą do niej wszystkie wartości \(\displaystyle{ x}\), które można wstawić do równania bez przeszkód, a to czy otrzymamy równość prawdziwą, czy nie, to już inna historia.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
równanie logarytmiczne, błędny wynik
Ja jestem tego samego zdania co chris_f. Idąc takim tokiem rozumowania jak piasek101, można dojść do wniosku że dziedziną równania są jedynie te liczby, które je spełniają, no a to już jest oczywista bzdura. Na pewno określenie dziedziny jako \(\displaystyle{ x>0 \wedge x \neq 1}\) potraktowałbym jako błąd rozwiązującego.