problematyczna granica funkcji

[matematyk1995]

Mam do policzenia dziedzine funkcji i w punktach nie nalezacych do dziedziny obliczyc granice:


\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3+8}{x^4+2x^3+2x^2+4x}}\)
i mam cos takiego: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3+8}{x(x+2)(x^2+2)}}\)


I wychodzi: \(\displaystyle{ D_{f}=R - \left\{ -2, 0\right\}}\)

Robiąc inaczej mam:


\(\displaystyle{ f(x)= \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^4+2x^3+2x^2+4x}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x+2)(x^2+2)}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}}\)

Iw tedy dziedzina wychodzi : \(\displaystyle{ D_{f}=R - \left\{ 0\right\}}\)

Narysowalem funkcje tej postaci: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3+8}{x(x+2)(x^2+2)}}\) w programie i wyszło że \(\displaystyle{ D_{f}=R - \left\{ 0\right\}}\) i że funkcja jest okreslona dla \(\displaystyle{ x=-2}\)



Który sposób jest dobry ? Proszę o wyjaśnienie, czemu przekształcenie wplyneło tak diametralnie na dziedzine. Z góry dziekuje za odpowiedz.

[MlodyPieknyBogaty]

W tym pierwszym przypadku nie rozbiłeś licznika na sumę nawiasów. Kiedy już to zrobisz to okaże się, że coś uprości się z mianownikiem i problem zniknie. Wyznaczając dziedzinę musisz posiadać najprostszą postać ułamka, bo inaczej możesz np pomnożyć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \left( x-3\right)}\) i wtedy okaże się, że \(\displaystyle{ 3}\) też jest wyłączona z dziedziny, a to przecież nieprawda.

[yorgin]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3+8}{x(x+2)(x^2+2)}}\)

I wychodzi: \(\displaystyle{ D_{f}=R - \left\{ -2, 0\right\}}\)
[...]
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}}\)

Iw tedy dziedzina wychodzi : \(\displaystyle{ D_{f}=R - \left\{ 0\right\}}\)

To są dwie różne funkcje. Pierwsza nie jest określona w \(\displaystyle{ -2}\), ale może zostać w sposób ciągły przedłużona do drugiej funkcji. Program może narysować drugą wersję, gdyż potrafi czasem policzyć granice jednostronne funkcji w punkcie osobliwymi mianownika i może się szczęśliwie złożyć, że jednostronne granice są sobie równe - wtedy można sobie funkcję dookreślić w osobliwości i tę osobliwość usunąć.

Zagadka - jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \frac{\sin x}{x}}\).

[matematyk1995]

Chciałoby się napisać że \(\displaystyle{ x\mapsto \frac{\sin x}{x} \Leftrightarrow x \neq 0}\).

Czyli napierw trzeba doprowadzic funkcje do najprostszej postaci a potem liczyć dziedzinę?

[yorgin]

Chciałoby się napisać że \(\displaystyle{ x\mapsto \frac{\sin x}{x} \Leftrightarrow x \neq 0}\).

Chciało, wyszło coś bez sensu. Domyślam się, że chodzi o to, że to wyrażenie ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) ?

Czyli napierw trzeba doprowadzic funkcje do najprostszej postaci a potem liczyć dziedzinę?

I tak, i nie.

Tak, gdy masz na przykład mianownik w postaci wielomianu, który rozkładasz na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

Nie, gdyż skracanie licznika i mianownika takiego ułamka tworzy nową funkcję, różną od wyjściowej.

[matematyk1995]

Tak, chodzi o to (wg mnie) że to wyrażenie ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) .

Czyli w takim przypadku można skrócić, bo mianownik jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 4}\), ale z drugiej strony powstala inna funkcja... bo dziedziny nie są takie same. Nie wiem jak to robić... Czy można czy nie.

[yorgin]

Tak, chodzi o to (wg mnie) że to wyrażenie ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) .

Zgadza się, ale jak się okazuje, \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\). Czyli jednak w zerze można jakoś określić funkcję, "skrócić".

Czyli w takim przypadku można skrócić, bo mianownik jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 4}\), ale z drugiej strony powstala inna funkcja... bo dziedziny nie są takie same. Nie wiem jak to robić... Czy można czy nie.

Ok, może żeby nie było chaosu.

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3+8}{x(x+2)(x^2+2)}}\) ma dziedzinę \(\displaystyle{ D_f=\RR\setminus \{0,-2\}}\). Dalej masz do policzenia granice w \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\).

Teraz coś, o czym nie wspomniałem. Jeżeli założysz, że \(\displaystyle{ x\neq -2}\), to wtedy \(\displaystyle{ x-2\neq 0}\), więc w liczniku i mianowniku masz dwa takie same wyrażenia \(\displaystyle{ x-2}\) różne od zera. Jeśli to uwzględnisz, to możesz skrócić, tzn zapisać \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}}\). Ale! Pamiętaj o dziedzinie! Nadal obowiązuje \(\displaystyle{ \RR\setminus \{0,-2\}}\). To jest poprawne podejście.

To, na co chciałem zwrócić uwagę - nie można bezkarnie skracać. Jeżeli chcesz skrócić, to najpierw musisz wyznaczyć dziedzinę, dopiero potem możesz upraszczać. Ale nie odwrotnie.

Dlatego pisałem, że nie można skracać, ale nie uwzględniłem kontekstu.

Raz jeszcze, \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}= \frac{x^3+8}{x(x+2)(x^2+2)}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \RR\setminus \{0,-2\}}\) pomimo tego, że w zapisie \(\displaystyle{ \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}}\) liczba \(\displaystyle{ -2}\) nie zeruje mianownika.

Ale misz-masz mi się zrobił... Mam nadzieję, że rozumiesz

[matematyk1995]

Zrozumiałem Czyli tak:\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-2x+4}{x(x^2+2)}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{-}} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+}} f(x)=+\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{-}} f(x)=-1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{+}} f(x)=-1}\)

a ponieważ, \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{-}} f(x) = \lim_{x \to -2 ^{+}} f(x) \Rightarrow f(2)=-1}\)


Dzięki wielkie za pomoc

[yorgin]

a ponieważ, \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{-}} f(x) = \lim_{x \to -2 ^{+}} f(x) \Rightarrow f(2)=-1}\)

No nie do końca. Nie możesz napisać \(\displaystyle{ f(\red - \black 2)=-1}\), gdyż \(\displaystyle{ -2}\) nie jest elementem dziedziny. Co najwyżej \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -2}f(x)=-1}\).

[matematyk1995]

Rozumiem, wielkie dzięki